Вправи: 639

639. Дано квадрат. Побудуйте правильний восьмикутник, чотири вершини якого збігалися б із вершинами даного квадрата. Як відносяться їхні периметри і площі?

Дано: квадрат і 8-кутник, вписані в коло.

Знайти: Р4 : Р8; S4 : S8.

Розв’язання

Нехай R - радіус описаного кола, тоді a₄ = R2;

a₈ = 2R • sin 180°8 = 2R • sin 22,5 = 2R • 0,38 = 0,76R.

P₄ = 4a₄ = 4 • R2 = 42R;

P₈ = 8a₈ = 8 • 0,76R = 6R.

P4P8 = 42R6R = 223

S₄ = a42 = (R2)² = 2R²;

S₈ = 12nR² • sin360°n = 12 • 8R² • sin 360°8 = 4R² • sin 45° = 4R² • 22 = 22R².

S4S8 = 2R222R2 = 12

Відповідь: P₄ : P₈ = 22 : 3; S₄ : S₈ = 1 : 2.