Вправи: 518 (1)

518. У трикутнику ABC AB = 8 см, AC = 20 см, ∠A = 68°. Знайдіть медіани трикутника.

Дано: ∆АВС; АВ = 8 см;

АС = 20 см; ∠А = 68°.

Знайти: медіани АМ, BK, CN

Розв’язання

За теоремою косинусів з ∆АВС:

BC² = AB² + AC² - 2 • AB • AC • cos A = 8² + 20² -

- 2 • 8 • 20 • cos 68° = 64 + 400 - 320 • 0,37 = 464 - 118,4 = 345,6.

BC = 345,6 ≈ 19 (см)

За теоремою косинусів з ∆КАВ:

AK = 12 AC = 12 • 20 = 10 (см);

AN = 12 AB = 12 • 8 = 4 (см).

BK² = AK² + AN² - 2 • AK • AN • cos 68° = 10² + 4² - 2 • 10 • 4 •

• 0,37 = 100 + 16 - 80 • 0,37 = 116 - 29,6 = 86,4

BK = 86,4 = 9 (см)

За теоремою синусів з ∆АВС:

ABsin C = BCsin A;

sin C = AB • sin ABC = 8 • sin 68°19 = 8 • 0,9319 = 7,4419 = 0,39.

∠C = 23°.

За теоремою косинусів з ∆АСМ:

MC = 12 BC = 12 • 19 = 9,5 (см)

AM² = AC² + MC² - 2AC • MC • cos C = 20² + 9,5² - 2 • 20 • 9,5 •

• cos 23° = 400 + 90,25 - 380 • 0,92 = 490,25 - 349,6 = 140,65

AM = 140,65 = 12 (см)

За теоремою косинусів з ∆NAC:

AN = 12 AN = 12 • 8 = 4 (см)

CN² = AC² + AN² - 2 • AC • AN • cos A = 20² + 4² - 2 • 20 • 4 •

• cos 68° = 400 + 16 - 160 • 0,37 = 416 - 59,2 = 356,8.

CN = 356,8 ≈ 18,8 (см)

Відповідь: 12 см; 9 см; 18,8 см.