Вправи: 517 (1)

517. Медіани AM і CN трикутника ABC перетинаються у точці O. Знайдіть сторони трикутника, якщо AM = 9 см, CN = 12 см, ∠AON =

= 35°.

Дано: ∆АВС; ∠AON = 35°

AM = 9 см - медіана;

CN = 12 см - медіана;

AM X CN в точці О

Знайти: АВ; ВС; АС.

Розв’язання

За властивістю медіан трикутника:

AO = 23 AM = 23 • 9 = 6 (см);

OM = 13 AM = 13 • 9 = 3 (см);

ON = 13 CN = 13 • 12 = 4 (см);

CO = 23 AN = 23 • 12 = 8 (см).

За теоремою косинусів з ∆AON:

AN² = AO² + ON² - 2 • AO • ON • cos O = 6² + 4² - 2 • 6 • 4 • cos35° =

= 36 + 16 - 48 • 0,82 = 52 - 39,36 = 12,64.

AN = 12,64 = 3,5

AB = 2AN = 2 • 3,5 = 7 (см).

За теоремою косинусів з ∆АОС:

∠AOC = 180° - ∠AON = 180° - 35° = 145°.

AC² = AO² + OC² - 2 • AO • OC • cos 145° = 6² + 8² = 2 • 6 • 8 •

• cos 35° = 36 + 64 + 96 • 0,82 = 100 + 78,72 = 178,72.

AC = 178,72 ≈ 13 (см).

За теоремою косинусів з ∆МОС:

∠MOC = ∠AON = 35°.

MC² = OM² + OC² - 2 • OM • OC • cos O = 3² + 8² - 2 • 3 • 8 • cos 35° =

= 24 + 64 - 48 • 0,82 = 88 - 39,36 = 48,64

MC = 48,64 = 7

BC = 2MC = 2 • 7 = 14 (см)

Відповідь: 7 см; 14 см; 13 см.