Вправи: 509

509. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 8 см, а гострий кут — 48°. Знайдіть більшу діагональ паралелограма і кути, які вона

утворює зі сторонами.

Дано: ABCD - паралелограм;

АВ = 8 см; ВС = 12 см; ∠А = 48°.

Знайти: АС; ∠ВАС; ∠ВСА.

Розв’язання

За властивістю паралелограма: ∠В = 180° -

- 48° = 132°.

За теоремою косинусів з ∆АВС:

AC² = AB² + BC² - 2 • AB • BC • cos B = 8² + 12² - 2 • 8 • 12 •

• cos 132° = 64 + 144 + 192 • cos 48° = 208 + 192 • 0,67 = 208 +

+ 128,6 = 336,6

AC = 336,6 ≈ 18 (см)

За теоремою синусів з ∆ABC:

BC sin A = ACsin B

sin A = BC • sin BAC = 12 • sin 132°18 = 12 • sin 48°18 = 12 • 0,7418 = 0,49;

∠A = 30°

Із ∆АВС: ∠BCA = 180° - (30° + 132°) = 18°

Відповідь: 18 см; 30°; 18°.