Вправи: 445

445. Сторони трикутника — a, b і c. Доведіть, що медіана, проведена

до сторони a, дорівнює m = 12 2(b2+c2) -a2.

Дано: ∆АВС; АМ - медіана;

a, b, c - сторони трикутника;

m - медіана

Довести: m = 12 2(b2+c2) -a2.

Доведення

Продовжимо медіану за точку М на відстань

MD = AM і сполучимо т. D з точками А і С.

ABCD - паралелограм.

За властивістю діагоналей паралелограма:

AD² + CB² = 2(AC² + AB²)

(2m)² + a² = 2(b² + c²)

(2m)² = 2(b² + c²) - a²

2m = 2(b2 + c2) -a2 |: 2

m = 12 2(b2 + c2) - a2.