Вправи: 446

446. У паралелограмі ABCD AD = 8 см, ∠A = 60°, а висота BH = 23. Знайдіть діагоналі паралелограма.

Дано: ABCD - паралелограм;

AD = 8 см; ∠А = 60°; ВН = 23 см

Знайти: AC, BD

Розв’язання

∆АНВ (∠Н = 90°):

tg A = BHAH; AH = BHtg A = 23tg 60° = 233 = 2 (см)

sin A = BHAB; AB = BHsin A = 23sin 60° = 23 • 23 = 4 (см)

HD = AD - AH = 8 - 2 = 6 (см)

∆BHD (∠H = 90°):

BD = BH2 + HD2 = (23)2 + 62 = 12 + 36 = 48 = 43 (см)

За властивістю діагоналей паралелограма:

AC² + BD² = 2(AB² + BC²)

AC² + 48 = 2(4² + 8²)

AC² + 48 = 2(16 + 64)

AC² = 160 - 48

AC² = 112; AC = 112; AC = 47 (см)

Відповідь: 47 см; 43 см.