Вправи: 443

443. У трикутнику медіана і сторона, до якої вона проведена, дорівнюють відповідно 10 см і 30 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 64 см.

Дано: ∆АВС; АС = 30 см;

ВМ - медіана, ВМ = 10 см

Р_АВС = 64 см

Знайти: АВ, ВС.

Розв’язання

AB + BC = P_ABC - AC = 64 - 30 = 34 (см)

Нехай АВ = х см, тоді ВС = (34 - х) см.

АМ = МС = 12 АС = 12 • 30 = 15 (см)

За теоремою косинусів для ∆АВМ:

cos A = AB2 + AM2 - BM22 • AB • AM = x2 + 152- 1022 • x • 15 = x2 + 12530x

За теоремою косинусів для ∆АВС:

AB² = AB² + AC² - 2 • AB • AC • cos A

x² + 30² - 2x • 30 • x2 + 12530x = (34 - x)²

x² + 900 - 2x² - 250 = 1156 - 68x + x²

-2x² + 68x - 506 = 0|: (-2)

x² - 34x + 253 = 0

D = (-34)² - 4 • 1 • 253 = 1156 - 1012 = 144

x₁ = 34 - 122 = 222 = 11;

x₂ = 34 + 122 = 462 = 23

Отже, АВ = 11 см; ВС = 23 см

Відповідь: 11 см; 23 см.