Вправи: 441

441. BM — медіана трикутника ABC. Знайдіть AB, якщо AC = 16 см,

BC = 13 см, ∠BMC =120°.

Дано: ∆АВС; АС = 16 см;

ВС = 13 см; ∠ВМС = 120°

Знайти: АВ.

Розв’язання

АМ = МС = 12 АС = 12 • 16 = 8 (см). Нехай ВМ = х см

За теоремою косинусів для ∆ВМС:

BC² = BM² + MC² - 2 • BM • MC • cos M

x² + 8² - 2 • x • 8 • cos 120° = 13²

x² + 64 + 16x • cos 60° = 169

x² + 16x • 12 + 64 - 169 = 0

x² + 8x - 105 = 0

x₁ = -15 - не задовольняє умову

x₂ = 7

BM = 7 (см)

∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - 120° = 60°.

За теоремою косинусів для ∆АВМ:

AB² = AM² + BM² - 2 • AM • BM • cos M = 8² + 7² - 2 • 8 • 7 •

• cos 60° = 64 + 49 - 2 • 56 • 12 = 113 - 56 = 57

AB = 57 (см)

Відповідь: 57 см.