Вправи: 230

230. Знайдіть периметр і площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 5 см і 12 см, а кут між ними 90°.

Розв’язання

Нехай а = 5 см, b = 12 см, тоді гіпотенуза с = a2+b2 =

= 52+122 = 25 + 144 = 169 = 13

P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 (см)

S = 12ab = 12 • 5 • 12 = 30 (см²).

Відповідь: 30 см; 30 см².

Задачі за готовими малюнками

1 - А. Знайти: AN, BP, CM.

Дано: A(-1; 1), B(3; 5), C(7; 3).

AN, BP, CM - медіани.

Знайти: AN, BP, CM.

Розв’язання

N - середина ВС: N(3 + 72; 5 + 32) = N(5; 4)

AN = (5 + 1)2+ (4 - 1)2 = 62+ 32 = 36 + 9 = 45 = 35;

P - середина АС: Р(-1 + 72; 1 + 32) = Р(3; 2).

BP = (3 - 3)2+ (2 - 5)2 = 02+ (-3)2 = 9 = 3;

M - середина АВ: М(-1 + 32; 1 + 52) = М(1; 3)

СМ = (1 - 7)2+ (3 - 3)2 = (-6)2+ 02 = 36 = 6.

Відповідь: 35; 3; 6.

2-Б. Знайти координати точок В і С.

Дано: пр-мABCD; A(-4; 3), D(1; -1), M(5; 4).

Знайти: координати точок В і С.

Розв’язання

1) М - середина АС:

xM = xA + xC2; -4 + xC2 = 5 -4 + xc = 10 xc = 14

yM = yA + yC2 3 + yC2 = 4 3 + yc = 8 yc = 5

Отже, С(14; 5).

2) М - середина BD:

xM = xB + xD2; xB + 12 = 5 xB + 1 = 10 xB = 9

yM = yB + yD2 yB - 12 = 4 yB - 1= 8 yB = 9

Отже, Р(9; 9).

Відповідь: (14; 5), (9; 9).

2-А. Довести: ABCD — прямокутник

Дано: A(-4; 3), B(4; 2), C(7; 1), D(-1; -3).

Довести: ABCD - прямокутник.

Доведення

AB = (4 + 4)2+ (7 - 3)2 = 82+ 42 = 64 + 16 = 80;

BC = (7 - 4)2+ (1 - 7)2 = 32+ (-6)2 = 9 + 36 = 45;

CD = (-1 - 7)2+ (-3 - 1)2 = (-8)2+ (-4)2 =

= 64 + 16 = 80;

AD = (-1 + 4)2+ (-3 - 3)2 = 32+ (-6)2 = 9 +36 = 45.

AB = CD, BC = AD, тому ABCD - паралелограм.

AC = (7 + 4)2+ (1 - 3)2 = 112+ (-2)2 = 121 + 4 = 125;

BD = (-1 - 4)2+ (-3 - 7)2 = (-5)2+ (-10)2 =

= 25 + 100 = 125.

AC = BD, тому пр-м ABCD - прямокутник.

2 - Б. Знайти A(x; y).

Дано: B(-1; 6), D(3; -2), AB = AD.

Знайти: А(х; у).

Розв’язання

А ∈ осі ОХ, тоді А(х; 0).

AB = (-1 - x)2+ (6 - 0)2 = (1 + x)2+ 36;

AD = (3 - x)2+ (-2 - 0)2 = (3 - x)2+ 4.

(1 + x)2+36 = (3 - x)2+ 4.

1 + 2x + x² + 36 = 9 - 6x + x² + 4

2x + 6x = -24

8x = -24

x = -3

Відповідь: А(-3; 0).

3 - А. Запишіть рівняння прямих і кіл. Дано: А(2; 3), В(4; 5).

Знайти: рівняння кола.

Розв’язання

А(2; 3) - центр кола.

AB = (4 - 2)2+ (5 - 3)2 = 22+ 22 = 4 +4 = 8

Отже, R = 8; R² = 8.

Рівняння кола: (x - 2)² + (y - 3)2 = 8.

3 - Б. Запишіть рівняння прямих і кіл.

Дано: А(-1; 1), В(1; 3), С(5; 1)

Знайти: рівняння кола.

Розв’язання

О ∈ осі ОХ, тоді О(х; 0) - центр кола.

ОА = ОВ як радіуси.

OA = (-1 - x)2+ (1 - 0)2 = (1 + x)2+ 1;

OB = (1 - x)2+ (3 - 0)2 = (1 + x)2+ 9.

(1 + x)2+ 1 = (1 + x)2+ 9

1 + 2x + x² + 1 = 1 - 2x + x² + 9

4x = 8

x = 2.

Отже, О(2; 0)

ОС = (5 - 2)2+ (1 - 0)2 = 32+ 12 = 9 + 1 = 10.

R = 10; R² = 10

Рівняння кола: (x - 2)² + y² = 10

4 - A. Запишіть рівняння прямих і кіл.

Дано: ∆АВС, А(-2; 2), В(6; 4), С(8; 0).

Знайти: всі сторони

Розв’язання

AB = (6 + 2)2 + (4 - 2)2 = 82 + 22 = 64 + 4 = 68 = 217;

BC = (8 - 6)2 + (0 - 4)2 = 22 + (-4)2 = 4 + 16 = 20 =

= 25;

AC = (8 + 2)2 + (0 - 2)2 = 102 + (-2)2 = 100 + 4 =

= 104 = 226.

Відповідь: 217; 25; 226.

4 - Б. Запишіть рівняння прямих і кіл.

Дано: тр-яABCD, A(2; 2), B(2; 4), C(5; 4), D(8; 2).

Знайти: всі сторони.

Розв’язання

AB = (2 - 2)2 + (4 - 2)2 = 02 + 22 = 4 = 2;

BC = (5 - 2)2 + (4 - 4)2 = 32 + 02 = 9 = 3;

CD = (8 - 5)2 + (2 - 4)2 = 32 + (-2)2 = 9 + 4 = 13;

AD = (8 - 2)2 + (2 - 2)2 = 62 + 02 = 36 = 6.

Відповідь: 2; 3; 13; 6.

Самостійна робота 1.

Варіант 1

1. Порівняйте з нулем значення виразу sin 130° • cos 50° • tg 80° •

• cos 150°.

sin 130° • cos 50° • tg 80° • cos 150° < 0.

< 0

2. Напишіть рівняння кола з центром у точці A(–2; 3), яке проходить через точку B(1; –1).

Дано: коло К(А; АВ), А(-2; 3), В(1; -1).

Знайти: рівняння кола.

Розв’язання

А(-2; 3) - центр кола.

АВ = (1 + 2)2 + (-1 - 3)2 = 32 + (-4)2 = 9 + 16 = 5

R = 5; R² = 25.

Рівняння кола: (x + 2)² + (y - 3)² = 25.

3. Напишіть рівняння медіани AM ∆ABC та знайдіть її довжину, якщо

A(–3; 2), B(4; 1), C(5; –4).

Дано: ∆АВС, АМ - медіана;

А(-3; 2), В(4; 1), С(5; -4).

Знайти: АМ, рівняння прямої АМ.

Розв’язання

М - середина ВС: М(4 + 52; 1 - 42) = М(4,5; -1,5).

АМ = (4,5 + 3)2+ (-1,5 - 2)2 = 7,52+ (-3,5)2 =

= 56,25 + 12,25 = 68,5

А і М лежать на прямій y = kx + b

k • (-3) + b = 2

k • 4,5 + b = -1,5

-3k + b = 2| • (-1) + 3k - 6 = -2

4,5k + b = 1,5 4,5k + b = 1,5

7,5k = -0,5

k = -115

b = 2 + 3 • (-115) = 2 - 15 = 95

Рівняння прямої AM: y = -115x + 95.

Відповідь: 68,5; y = -115x + 95

Варіант 2

1. Порівняйте з нулем значення виразу cos 125° • sin 135° • cos 20°•

• tg 130°.

cos 125° • sin 135° • cos 20° • tg 130° > 0

< 0 < 0

2. Напишіть рівняння кола з центром у точці A(4; 3), яке дотикається

до осі OX.

Дано: коло К(A; R) дотикається до осі ОХ.

А(4; 3).

Знайти: рівняння кола.

Розв’язання

А(4; 3) - центр кола; В(4; 0) - точка дотику.

АВ = (4 - 4)2 + (0 - 3)2 = 02 + (-3)2 = 9 = 3

R = 3; R² = 9.

Рівняння кола: (x - 4)² + (y - 3)² = 9.

3. Напишіть рівняння середньої лінії MN ABC (MN ^ AC) і знайдіть її

довжину, якщо A(–1; –3), B(3; 7), C(5; 1).

Дано: ∆ABC, MN - сер. лінія;

А(01; -3), В(3; 7), С(5; 1).

Знайти: MN, рівняння прямої MN.

Розв’язання

М - середина: М(-1 + 32; -3 + 72) = М(1; 2).

N - середина ВС: N(3 + 52; 7 + 12) = N(4; 4).

MN = (4 - 1)2 + (4 - 2)2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13.

M i N лежать на прямій y = kx + b.

k • 1 + b = 2

k • 4 + b = 4

k + b = 2| • (-1) -k - b = -2

4k + b = 4 4k + b = 4

3k = 2

k = 23

b = 2 - 23 = 43.

Рівняння прямої MN: y = 23k + 43.

Відповідь: 13; у = 23k + 43.

Варіант 3

1. Порівняйте з нулем значення виразу tg 123° • sin 132° • cos 15°•

• sin 15°.

tg 123° • sin 132° • cos 15° • sin 15° < 0

< 0

2. Напишіть рівняння кола з центром у точці A(1; –3), яке проходить

через початок координат.

Дано: коло K(A; R) проходить через О(0; 0).

А(1; -3)

Знайти: рівняння кола.

Розв’язання

А(1; -3) - центр кола; О(0; 0) ∈ колу.

OA = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10

R = 10; R² = 10

Рівняння кола: (x - 1)² + (y + 3)² = 10

3. Напишіть рівняння медіани AM ∆ABC і знайдіть її довжину, якщо

A(3; 5), B(–4; 2), C(2; –4).

Дано: ∆АВС; АМ - медіана;

А(3; 5), В(-4; 2), С(2; -4)

Згайти: АМ, рівняння пр. АМ.

Розв’язання

М - середина ВС: М(-4 + 22; 2 - 42) = М(-1; -1).

АМ = (-1 - 3)2+ (-1 - 5)2 = (-4)2+ (-6)2 =

= 16 + 36 = 52 = 213.

А і М лежать на прямій y = kx + b:

Рівняння прямої АМ: y = -x - 2

Відповідь: 213; y = -x - 2.

Варіант 4

1. Порівняйте з нулем значення виразу cos 20° • sin 135° • cos 120°•

• tg 23°.

cos 20° • sin 135° • cos 120°• tg 23° < 0.

< 0

2. Напишіть рівняння кола з центром у точці A(4; 3), яке дотикається до осі OY.

Дано: коло K(A; R) дотикається до осі OY, A(4; 3).

Знайти: рівняння кола.

Розв’язання

А(4; 3) - центр кола; R = 4.

Рівняння кола: (x - 4)² + (y - 3)² = 16

3. Напишіть рівняння середньої лінії MN трапеції ABCD (BC ^ AD) і знайдіть її довжину, якщо A(3; –3), B(–1; 1), C(3; 3), D(5; 1).

Дано: ABCD - трапеція;

AB ∥ CD, MN - середня лінія;

A(3; -3), B(-1; 1), C(3; 3), D(5; 1)

Знайти: MN, рівняння пр. MN.

Розв’язання

М - середина ВС: М(-1 + 32; 1 + 32) = М(1; 2).

N - середина AD: N(3 + 52; -3 + 12) = N(4; -1).

MN = (4 - 1)2+ (-1 - 2)2 = 32 + (-3)2 = 18 = 32.

M i N лежать на прямій y = kx + b:

k • 1 + b = 2

k • 4 + b = -1

k + b = 2| • (-1) -k - b = -2

4k + b = -1 4k + b = -1

3k = -3

k = -1

b = 2 + 1 = 3

Рівняння прямої MN: y = -x + 3.

Відповідь: 33; y = -x + 3.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 1

1. Знайдіть довжину відрізка AB, якщо A(1; 2), B(1; 6).

AB = (1 - 1)2+ (6 - 2)2 = 02+ 42 = 16 = 4.

Відповідь: б).

2. Дано точки A(–1; 3) і B(5; 6). Знайдіть координати точки M, яка ділить відрізок AB навпіл.

x_M = xA+ xB2 = -1 + 52 = 42 = 2

y_M = yA+ yB2 = 3 + 62 = 92 = 4,5

Отже, М(2; 4,5).

Відповідь: г).

3. Яка пряма паралельна до прямої y = 3x + 5?

Пряма у = 3х + 5 паралельна до прямої у - 3х = 2.

Відповідь: в)

4. Який знак слід поставити замість *: sin 128° * cos 128°?

sin 128° > cos 128°.

Відповідь: а)

5. Яка пряма утворює кут 135° з додатним напрямом осі OX?

k = tg 135° = -1, тому y = -x + b.

Рівняння прямої: x + y = 5.

Відповідь: в).

6. Радіус якого кола дорівнює 4?

R = 4; (x - 1)² + (y - 2)² = 16.

Відповідь: б)

7. AB — діаметр кола. Яке з рівнянь є рівнянням цього кола, якщо

A(1; 3), B(–1; –3)?

AB = (-1 - 1)2+ (-3 - 3)2 = (-2)2+ (-6)2 = 40 = 210

R = 12AB = 12 • 210 = 10; R² = 10.

O - середина АВ: О(1 - 12; 3 - 32) = О(0; 0).

Рівняння кола: х² + у² = 10.

Відповідь: а).

8. Вкажіть хибну рівність.

Хибна рівність: sin 23° = -sin 157°.

Відповідь: б).

9. Яке з рівнянь є рівнянням діаметра кола x² + y² = 25, проведе-

ного через точку A(3; 4)?

Точки О(0; 0) і А(3; 4) лежать на прямій y = kx: k • 3 = 4

k = 43

Рівняння прямої: у = 43х.

Відповідь: в)

10. Яка з прямих не є дотичною до кола x² + (y – 2)² = 9?

x² + (y - 2)² = 9; O(0; 2) -центр; R = 3

Не є дотичною: у = 3

Відповідь: б)

ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

1. Знайдіть довжину відрізка KP та координати його середини,

якщо K(1; –3), P(7; 5).

Дано: К(1; -3), Р(7; 5), С - середина КР.

Знайти: КР, С(х; у).

Розв’язання

КР = (7 - 1)2 + (5 + 3)2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10.

С - середина КР: С(1 + 7 2; -3 + 52) = С(4; 1).

Відповідь: 10; (4; 1).

2. Знайдіть кути прямокутної трапеції, якщо косинус одного з них дорівнює -22.

Дано: ABCD - прямокутна трапеція;

сos С = -22.

Знайти: всі кути.

Розв’язання

За умовою ∠А = ∠В = 90°.

cos C = -22, тому ∠С = 135°.

∠C + ∠D = 180° - за властивістю трапеції

∠D = 180° - ∠C = 180° - 135° = 45°

Відповідь: 90°; 90°; 135°; 45°.

3. На малюнку 50 зображено коломз центром A та його діаметр BC.

Запишіть координати точок A, B і C. Складіть рівняння: а) кола, зо-

браженого на малюнку; б) прямої BC.

За мал. складіть рівняння кола і пряма ВС.

Розв’язання

а) А(5; 6) - центр кола; В(3; 4), С(7; 8).

BC = (7 - 3)2 + (8 - 4)2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 = 42

R = 12BC = 12 • 42 = 22; R² = (22)² = 8.

Рівняння кола: (x - 5)² + (y - 6)² = 8.

б) Точки В і С лежать на пр. y = kx + b:

k • 3 + b = 4

k • 7 + b = 8

3k + b = 4| • (-1) -3k - b = -4

7k + b = 8 7k + b = 8

4k = 4

k = 1

b - 4 - 3 • 1 = 1

Рівняння прямої ВС: y = x + 1.

Відповідь: a) (x - 5)² + (y - 6)² = 8; б) y = x + 1.

4. M — середина відрізка AB. Знайдіть координати точки A, якщо

M(1; 4), B(3; –5).

Дано: М - середина АВ; М(1; 4); В(3; -5)

Знайти: А(х; у)

Розв’язання

хМ = xA + xB2 1 = xA + 32 xA + 3 = 2 xA = -1

yМ = yA + yB2 4 = yA - 52 yA - 5 = 8 yA = 13

Отже, А(-1; 13)

Відповідь: (-1; 13).

5. Доведіть, що трикутник з вершинами в точках A(–3; –1), B(–1; 5),

C(5; 3) —рівнобедрений.

Дано: ∆АВС; А(-3; -1), В(-1; 5), С(5; 3).

Довести: ∆АВС - рівнобедрений.

Розв’язання

AB = (-1 + 3)2 + (5 + 1)2 = 22 + 62 = 4 + 36 = 40;

BC = (5 + 1)2 + (3 - 5)2 = 62 + (-2)2 = 36 + 4 = 40;

AC = (5 + 3)2 + (3 + 1)2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80.

AB = BC, тому ∆АВС - рівнобедрений.

6. Знайдіть координати точки M, яка лежить на осі OX та рівновіддалена від точок A(5; 4) і B(–2; –3).

Дано: М ∈ осі ОХ; А(5; 4), В(-2; -3).

АМ = ВМ.

Знайти: М(х; у)

Розв’язання

Оскільки М ∈ осі ОХ, то М(х; 0).

АМ = (x - 5)2 + (0 -4)2 = (x - 5)2 + 16;

BM = (x + 2)2 + (0 + 3)2 = (x + 2)2 + 9

(x - 5)2 + 16 = (x + 2)2 + 9

x² - 10x + 25 + 16 = x² + 4x + 4 + 9

-14x = -28

x = 2.

Отже, М(2; 0)

Відповідь: (2; 0).

7. Дано три послідовні вершини паралелограма ABCD: A(–1; 1),

B(3; 3), C(3; 0). Знайдіть координати вершини D.

Дано: ABCD - паралелограм;

А(-1; 1), В(3; 3), С(3; 0)

Знайти: D(x; y).

Розв’язання

О - середина АС: О(-1 + 32; 1 + 02) = О(1; 0,5)

О - середина BD:

x0 = xB + xD2; 1 = 3 + xD2 3 + xD = 2 xD = -1

y0 = yB + yD2; 0,5 = 3 + yD2 3 + yD = 1 yD = -2

Відповідь: D(-1; -2).

8. Знайдіть довжину хорди, утвореної при перетині кола: (x – 5)² +

+ (y – 3)² = 4 прямою y = x – 4.

Дано: коло (х - 5)² + (у - 3)² = 4;

хорда АВ: у = х - 4.

Знайти: АВ.

Розв’язання

Знайдемо точки перетину кола і прямої

у = х - 4

(х - 5)² + (у - 3)² = 4

(х - 5)² + (x - 4 - 3)² = 4

x² - 10x + 25 + (x - 7)² = 4

x² - 10x + 25 + x² - 14x + 49 - 4 = 0

2x² - 24x + 70 = 0| : 2

x² - 12x + 35 = 0

x₁ = 5

x₂ = 7

x = 5 x = 7

y = 1 y = 3

Отже, А(5; 1),В(7; 3).

АВ = (7 - 5)2+ (3 - 1)2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 = 22.

Відповідь: 22.

9. Встановіть вид чотирикутника з вершинами в точках A(–5; 1),

B(–3; 5), C(3; 2), D(1; –2). Знайдіть його периметр, площу та напишіть рівняння кола, описаного навколо нього.

Дано: ABCD - чотирикутник;

А(-5; 1), B(-3; 5), C(3; 2), D(1; -2).

Знайти: вид чотирикутника;

P; S; рівняння описаного кола.

Розв’язання

AB = (-3 + 5)2 + (5 - 1)2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20;

BC = (3 + 3)2 + (2 - 5)2 = 62 + (-3)2 = 36 + 9 = 45;

CD = (1 - 3)2 + (-2 -2)2 = (-2)2 + (-4)2 = 4 + 16 =

= 20;

AD = (1 + 5)2 + (-2 - 1)2 = 62 + (-3)2 = 36 + 9 = 45.

AB = CD, BC = AD.

Отже, ABCD - паралелограм.

AC = (3 + 5)2 + (2 - 1)2 = 82 + 12 = 64 + 1 = 65;

BD = (1 + 3)2 + (-2 - 5)2 = 42 + (-7)2 = 16 + 49 = 65.

AC = BD. Отже, ABCD - квадрат.

Р_кв-т = 4 • АВ = 420 = 4 • 25 = 85;

S_кв-т = AB² = (20)² = 20.

О - середина АС: О(-5 + 32; 1 + 22) О(-1; 1,5)

R = AO = 12AC = 12 • 65; R² = 16,25

Рівняння кола: (х + 1)² + (у - 1,5)² = 16,25.

Відповідь: 85; 20; (х + 1)² + (у - 1,5)² = 16,25.

10. При яких значеннях параметра a кола x² + y² + 2x – 4y = 4 і

x² + y² – 6x + 2y = a² – 10 мають: а) зовнішній дотик;

б) внутрішній дотик?

Розв’язання

1) x² + y² + 2x - 4y = 4

(x² + 2x + 1) - 1 + (y² - 4y + 4) - 4 = 4

(x + 1)² + (y - 2)² = 9 - рівняння кола з центром О₁(-1; 2) радіуса

R₁ = 3.

2) x² + y² - 6x + 2y = a² - 10

(x² - 6x + 9) - 9 + (y² + 2y + 1) - 1 = a² - 10.

(x - 3)² + (y + 1)² = a² - рівняння кола з центром О₂(3; -1) радіуса R₂ = |a|.

O₁O₂ = (3 + 1)2 + (-1 - 2)2 = 42 + (-3)2 = 16 + 9 =

= 25 = 5.

a) зовнішній дотик, якщо

O₁O₂ = R₁ + R₂

3 + |a| = 5

|a| = 2

a = ± 2

б) внутрішній дотик, якщо

O₁O₂ = R₂ - R₁.

|a| - 3 = 5

|a| = 8

a = ± 8.

Відповідь: а) ± 2; б) ± 8.