Вправи: 188

188. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках (–3; –2),

(–2; 5), (5; 6), (4; –1) — ромб. Знайдіть його площу та периметр.

Дано: ABCD - чотирикутник;

A(-3; -2), B(-2; 5), C(5; 6), D(4; -1).

Довести: ABCD - ромб.

Знайти: S_ABCD, P_ABCD.

Розв’язання

АВ = (-2 + 3)2+ (5 + 2)2 = 12+ 72 = 1 + 49 = 50;

BC = (5 + 2)2+ (6 - 5)2 = 72+ 12 = 49 + 1 = 50;

CD = (4 - 5)2+ (-1 - 6)2 = (-1)2+ (-7)2 = 1 + 49 =

= 50;

AD = (4 + 3)2+ (-1 + 2)2 = 72+ 12 = 49 + 1 = 50;

AB = BC = CD = AD.

O - середина АС: О(-3 + 52; -2 + 62) = О(1; 2)

∆АВО: АВ = 50

АО = (1 + 3)2+ (2 + 2)2 = 42+ 42 = 16 + 16 = 32;

ВО = (1 + 2)2+ (2 - 5)2 = 3+ (-3)2 = 9 + 9 = 18;

(18)² + (32)² = (50)², тому ∆АОВ - прямокутний з гіпотенузою АВ, ∠О = 90°. Отже, AC ⊥ BD, AC ≠ BD.

Тому ABCD - ромб.

S_ABCD = 12 AC • BD = 12 • 232 • 218 = 48;

P_ABCD = 4AB = 450 = 4 • 52 = 202.

Відповідь: 48; 202.