Вправи: 105 (1)

105. Дано точки A(3; 7), B(–1; 3), C(–7; 4), D(–3; 8). Доведіть, що:

а) ABCD — паралелограм; б) чотирикутник, вершини якого є серединами сторін чотирикутника ABCD, — паралелограм.

а)

Дано: А(3; 7), В(-1; 3)

С(-7; 4), D(-3; 8)

Доведення

Проведемо діагоналі АС і BD

Знайдемо координати т. О - середини АС.

x_o = xA + xC2 = 3 - 72 = -42 = -2

y_O = yA + yC2 = 7 + 42 = 112 = 5,5

Отже, О(-2; 5,5)

Знайдемо координати т. К - середини BD.

x_k = xB + xD2 = -1 -32 = -42 = -2

y_k = yB + yD2 = 3 + 82 = 112 = 5,5

Отже, К(-2; 5,5).

Точки О і К суміщаються, тобто діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці з коор. (-2; 5,5) і діляться в цій точці навпіл.

Отже, ABCD - паралелограм. Доведено.

б)

Дано: A(3; 7), B(-1; 3)

C(-7; 4), D(-3; 8)

K, L, M, N - середини

AB, BC, CD, AD.

Довести: KLMN - паралелограм.

Доведення

Знайдемо координати точок K, L, M, N.

K(3 - 12; 7 + 32) = K(1; 5); L(-1 - 72; 3 + 42) = L(-4; 3,5)

M(-7 - 32; 4 + 82) = M(-5; 6); N(3 - 32; 7 + 82) = N(0; 7,5)

Проведемо діагональ KM і LN.

Знайдемо координати т. О - середини КМ.

О(1 - 52; 5 + 62) = О(-2; 5,5).

Знайдемо координати т. К. - середини LN

K(-4 + 02; 3,5 + 7,52) = K(-2; 5,5).

Точки О і К суміщаються, тобто діагоналі чотирикутника KLMN перетинаються в точці з координатами (-2; 5,5) і діляться в цій точці навпіл.

Отже, KLMN - паралелограм. Доведено.