Вправи: 967

967. Доведіть, що рівносторонній трикутник при повороті навколо точки перетину його висот на кут 120° переходить у себе.

Нехай у ∆ABC AB = BC = AC, О – точка перетину висот, які в рівносторонньому трикутнику є медіанами і бісектрисами. Точка О – центр кола, описаного навколо трикутника, OB = ОА = ОС.

∆BOC = ∆COA = ∆AOB за трьома сторонами (AB = BC = AC, OB = OC, OC = OA, OA = OB) і рівнобедрені, тоді ∠OBC = ∠OCB = ∠OCA = ∠OAC = ∠OAB = ∠OBA =

= 60°2 = 30°.

Тоді ∠BOC = ∠COA = ∠AOB = 180° – 2 • 30° = 120°.

При повороті навколо точки О на 120° за годинниковою стрілкою

B → C, C → A, A → B, BC → CA, CA → AB, AB → BC, тобто трикутник переходить у себе. Що й треба було довести.