Вправи: 68

68. Доведіть, що сума абсцис (ординат) середин сторін трикутника

дорівнює сумі абсцис (ординат) його вершин.

Дано: ∆АВС;

А₁, В₁, С₁ – середини сторін;

А₁(х₁; у₁), В₁(х₂; у₂), С₁(х₃; у₃)

Довести:

х_А + х_В + х_С = х₁ + х₂ + х₃

у_А + у_В + у_С = у₁ + у₂ + у₃

Доведення

А₁ – середина ВС:

хВ+ хС2 = х₁; уВ+ уС2 = у₁;

В₁ – середина АС:

хА+ хС2 = х₂; уА+ уС2 = у₂;

С₁ – середина АВ:

хА+ хВ2 = х₃; уА+ уВ2 = у₃.

Маємо рівності:

1) х₁ + х₂ + х₃ = хВ+ хС2 + хА+ хС2 + хА+ хВ2 = 2хА+ 2хВ+ 2хС2 =

= х_А + х_В + х_С.

2) у₁ + у₂ + у₃ = уВ+ уС2 + уА+ уС2 + уА+ уВ2 = 2уА+ 2уВ+ 2уС2 =

= у_А + у_В + у_С.

Доведено.