Вправи: 66

66. Знайдіть координати центра кола, описаного навколо трикутника з вершинами в точках:

1) А (1; 1), В (2; 3) і С (5; –1); 2) А (–1; 6), В (–5; 3) і D (–2; –1).

Нехай координати точки О(х; у), тоді ОА = ОВ = ОС.

1) А(1; 1), В(2; 3), С(5; –1).

ОА² = (х – 1)² + (у – 1)²; ОВ² = (х – 2)² + (у – 3)²; ОС² = (х – 5)² +

+ (у + 1)².

ОА² = ОВ²;

(х – 1)² + (у – 1)² = (х – 2)² + (у – 3)²;

х² – 2х + 1 + у² – 2у + 1 = х² – 4х + 4 + у² – 6у + 9;

4х – 2x – 2y + 6y = 4 + 9 – 2; 2x + 4y = 11. OA² = OC²;

(x – 1)² + (y – 1)² = (x – 5)² + (y + 1)²;

x² – 2x + 1 + y² – 2y + 1 = x² – 10x + 25 + y² + 2y + 1

10x – 2x – 2y – 2y = 25 – 1; 8x – 4y = 24; 2x – y = 6.

Розв’яжемо систему рівнянь:

2x + 4y = 11, 5y = 5, y = 1, y = 1, y = 1,

2x – y = 6; 2x – y = 6; 2x – 1 = 6; 2x = 7; x = 3,5.

Координати точки О(3,5; 1).

2) А(–1; 6), B(–5; 3), D(–2; –1); OA² = (x + 1)² + (y – 6)²; OB² =

= (x + 5)² + (y – 3)²;

OD² = (x + 2)² + (y + 1)².

OA² = OB²; (x + 1)² + (y – 6)² = (x + 5)² + (y – 3)²;

x² + 2x + 1 + y² – 12y + 36 = x² + 10x + 25 + y² – 6y + 9;

2x – 12y – 10x + 6y = 25 + 9 – 36 – 1; –8x – 6y = –3; 8x + 6y = 3.

OA² = OD²; (x + 1)² + (y – 6)² = (x + 2)² + (y + 1)²;

x² + 2x + 1 + y² – 12y + 36 = x² + 4x + 4 + y² + 2y + 1;

2x – 12y – 4x – 2y = 4 – 36; –2x – 14y = –32; x + 7y = 16.

Розв’яжемо систему рівнянь:

x + 7y = 16, x = 16 – 7y, x = 16 – 7y,

8x + 6y = 3; 8(16 – 7y) + 6y = 3; 128 – 56y + 6y = 125;

x = 16 – 7y, x = 16 – 7 • 2,5. x = –1,5

50y = 125; y = 2,5 y = 2,5 O(–1,5; 2,5).

Відповідь: 1) (3,5; 1); 2) (–1,5; 2,5).