Вправи: 67 (1)

67. Середини сторін трикутника АВС містяться в точках:

1) А₁ (0; 0), В₁ (2; 0) і С₁ (–1; 3);

2) А₁ (1; 2), В₁ (8; 26) і С₁ (19; 26);

3) А₁ (–2; –1), В₁ (0; 1) і С₁ (0; –3);

4) А₁ (3; 4), В₁ (2; –1) і С₁ (0; 2).

Які координати мають вершини трикутника?

Дано: ∆АВС;

А₁, В₁, С₁ – середини сторін;

А₁(0; 0); В₁(2; 0), С₁(–1; 3)

Знайти координати А, В, С

Розв’язання

А₁ – середина ВС:

хВ+ хС2 = 0; уВ+ уС2 = 0;

х_В + х_С = 0 у_В + у_С = 0

В₁ – середина АС:

хА+ хС2 = 2; уА+ уС2 = 0;

х_А + х_С = 4 у_А + у_С = 0

С₁ – середина АВ:

хА+ хВ2 = –1; уА+ уВ2 = 3;

х_А + х_В = –2 у_А + у_В = 6

Маємо системи рівнянь:

х_В + х_С = 0 у_В + у_С = 0

– х_А + х_С = 4 – у_А + у_С = 0

х_А + х_В = –2 у_А + у_В = 6

+ х_В – х_А = –4 + у_В – у_А = 0

х_А + х_В = –2 у_А + у_В = 6

2х_В = –6 2у_В = 6

х_В = –3 у_В = 3

х_А = 1 у_А = 3

х_С = 3 у_С = –3

Відповідь: (1; 3), (–3; 3), (3; –3).

2) Дано: ∆АВС;

А₁, В₁, С₁ – середини сторін

А₁(1; 2), В(8; 26), С(19; 26)

Знайти координати А, В, С.

Розв’язання

А₁ – середина ВС:

хВ+ хС2 = 1; уВ+ уС2 = 2;

х_В + х_С = 2 у_В + у_С = 4

В₁ – середина АС:

хА+ хС2 = 8; уА+ уС2 = 26;

х_А + х_С = 16 у_А + у_С = 52

С₁ – середина АВ:

хА+ хВ2 = 19; уА+ уВ2 = 26

х_А + х_В = 38 у_А + у_В = 52

Маємо системи рівнянь:

х_В + х_С = 2 у_В + у_С = 4

– х_А + х_С = 16 – у_А + у_С = 52

х_А + х_В = 38 у_А + у_В = 52

+ х_В – х_А = –14 + у_В – у_А = –48

х_А + х_В = 38 у_А + у_В = 52

2х_В = 24 2у_В = 4

х_В = 12 у_В = 2

х_А = 26 у_А = 50

х_С = –10 у_С = 2

Відповідь: А(26; 50), В(12; 2), С(–10; 2).

3) Дано: ∆АВС;

А₁, В₁, С₁ – середини сторін

А₁(–2; –1), В₁(0; 1), С₁(0; –3)

Знайти координати А, В, С.

Розв’язання

А₁ – середина ВС:

хВ+ хС2 = –2; уВ+ уС2 = –1;

х_В + х_С = –4 у_В + у_С = –2

В₁ – середина АС:

хА+ хС2 = 0; уА+ уС2 = 1;

х_А + х_С = 0 у_А + у_С = 2

С₁ – середина АВ:

хА+ хВ2 = 0; уА+ уВ2 = –3

х_А + х_В = 0 у_А + у_В = –6

Маємо системи рівнянь:

х_В + х_С = –4 у_В + у_С = –2

– х_А + х_С = 0 – у_А + у_С = 2

х_А + х_В = 0 у_А + у_В = –6

+ х_В – х_А = –4 + у_В – у_А = –4

х_А + х_В = 0 у_А + у_В = –6

2х_В = –4 2у_В = –10

х_В = –2 у_В = –5

х_А = 2 у_А = –1

х_С = –2 у_С = 3

Відповідь: А(2; –1), В(–2; –5), С(–2; 3).

4) Дано: ∆АВС;

А₁, В₁, С₁ – середини сторін

А₁(3; 4), В₁(2; –1), С₁(0; 2)

Знайти координати А, В, С.

Розв’язання

А₁ – середина ВС:

хВ+ хС2 = 3; уВ+ уС2 = 4;

х_В + х_С = 6 у_В + у_С = 8

В₁ – середина АС:

хА+ хС2 = 2; уА+ уС2 = –1;

х_А + х_С = 4 у_А + у_С = –2

С₁ – середина АВ:

хА+ хВ2 = 0; уА+ уВ2 = 2

х_А + х_В = 0 у_А + у_В = 4

Маємо системи рівнянь:

х_В + х_С = 6 у_В + у_С = 8

– х_А + х_С = 4 – у_А + у_С = –2

х_А + х_В = 0 у_А + у_В = 4

+ х_В – х_А = 2 + у_В – у_А = 10

х_А + х_В = 0 у_А + у_В = 4

2х_В = 2 2у_В = 14

х_В = 1 у_В = 7

х_А = –1 у_А = –3

х_С = 5 у_С = 1

Відповідь: А(–1; –3), В(1; 7), С(5; 1).