Вправи: 61

61. Координати точки перетину діагоналей паралелограма дорівню–

ють середнім арифметичним відповідних координат вершин пара–

лелограма. Доведіть.

Нехай у паралелограмі ABCD координати вершин А(х₁; у₁), В(х₂; у₂), С(х₃; у₃), D(х₄; у₄). Діагоналі паралелограма перетинаються у точці О і нею діляться навпіл, отже, О – середина діагоналей.

Координати точки О(х; у):

х = х1+ х32, у = у1+ у32 або х = х2+ х42, у = у2+ у42;

2х = х1+ х32 + х2+ х42 = х1+ х2+ х3+ х42,

тоді х = х1+ х2+ х3+ х42•2 = х1+ х2+ х3+ х44;

аналогічно 2у = у1+ у32 + у2+ у42 = у1+ у2+ у3+ у42, звідки у1+ у2+ 4у3+ у44. Отже, координати точки перетину діагоналей є середнім арифметичним відповідних координат вершин паралелограма. Що й треба було довести.