Вправи: 256 (1)

256. Складіть рівняння сторін рівнобедреного трикутника АВС, у якого:

1) Дано: ∆АВС – рівнобедрений;

A(–1; 2), B(3; 2);

∠BAC = ∠ABC = 45°.

Знайти: рівняння AB, BC, AC

Розв'язання

Можливі 2 випадки:

І

Знайдемо рівняння прямої ВА:

За умовою, точки A і В мають рівні ординати, тому y = 2.

Отже, y – 2 = 0 – рівняння прямої ВА.

Знайдемо рівняння прямої BC:

y = kx + b; k = tg 45° = 1; y = x + b

B(3; 2) ∈ прямій: 2 = 3 + b; b = –1. y = x – 1.

Отже, x – y – 1 = 0 – рівняння прямої BC.

Знайдемо рівняння прямої АС:

y = kx + b, k = tg(180° – 45°) = –tg 45° = –1; y = –x + b.

A(–1; 2) ∈ прямій: 2 = 1 + b; b = 1.

y = –x + 1

Отже, x + y – 1 = 0 – рівняння прямої AC.

ІІ

Рівняння прямої AB: y – 2 = 0.

Знайдемо рівняння прямої BC:

y = kx + b; k = tg(180° – 45°) = –tg 45° = –1; y = –x + b

B(3; 2) ∈ прямій: 2 = –3 + b; b = 5

y = –x + 5.

Отже, x + y – 5 = 0 – рівняння прямої BC.

Знайдемо рівняння прямої АС:

y = kx + b; k = tg 45° = 1; y = x + b.

A(–1; 2) ∈ прямій: 2 = –1 + b; b = 3.

y = x + 3.

Отже, x – y + 3 = 0 – рівняння прямої AC.

Відповідь: y – 2 = 0, x – y – 1 = 0, x + y – 1 = 0 або y – 2 = 0,

x + y – 5 = 0, x + y – 5 = 0.

2) Дано: ∆АВС – рівнобедрений;

A(–2; –3), B(6; –3);

∠ACВ = 120°.

Знайти: рівняння AB, BC, AC

Розв'язання

Можливі 2 випадки:

І

Оскільки ∆ВСА – рівнобедрений, то ∠В = ∠А = (180° – 120°) : 2 =

= 30°.

Знайдемо рівняння прямої ВА:

за умовою, точки B і А мають однакові ординати, тому y = –3. Отже, y + 3 = 0 – рівняння прямої ВА.

Знайдемо рівняння прямої BC:

y = kx + b, k = tg 30° = 33, y = 33x + B(6; –3) ∈ прямій: –3 = 33 •

• 6 + b; 23 + b = –3; b = –23 – 3

y = 33x – 23 – 3|• 3

3y = 3x – 63 – 9

Отже, 3x – 3y – 63 – 9 = 0 – рівняння BC.

Знайдемо рівняння прямої АС:

у = kx + b, к = tg(180° – 30°) = –tg 30° = –33.

y = –33x + b

A(–2; –3) ∈ прямій: –3 = –33 • (–2) + b; 233 + b = –3; b = –233 – 3

y = –33x – 233 – 3|• 3

3y = –3x – 23 – 9

Отже, 3x + 3y + 23 + 9 = 0 – рівняння прямої АC.

ІІ

Рівняння прямої AB: y + 3 = 0.

Знайдемо рівняння прямої BC:

у = kx + b, к = tg(180° – 30°) = –tg 30° = –33.

y = –33x + b

В(6; –3) ∈ прямій: –3 = –33 • 6 + b; –23+ b = –3; b = 23 – 3

y = –33x + 23– 3|• 3

3y = –3x + 63 – 9

3x + 3y + 63 + 9 = 0 – рівняння ВC.

y = kx + b, k = tg 30° = 33

y = 33x + b

A(–2; –3) ∈ прямій: –3 = 33 • (–2) + b;

–233 + b = –3; b = 233 – 3

y = 33x + 233 – 3| • 3

3y = 3x + 23 – 9

Отже, 3x – 3y + 23 – 9 = 0 – рівняння АС.

Відповідь: y + 3 = 0, 3x – 3y – 63 – 9 = 0, 3x + 3y + 23 + 9 =

= 0 або y + 3 = 0, 3x + 3y – 63 + 9 = 0, 3x – 3y + 23 – 9 = 0.