Вправи: 202

202. Складіть рівняння кола, що проходить через точку (3; 3) і дотикається до осі абсцис та прямої: 1) y = 6; 2) х = –3.

Нехай центр кола О(x; y). Коло проходить через точку А(3; 3), а також дотикається до осі абсцис у точці B(x; 0) і заданою прямої у точці С. Тоді ОА = OB = OC.

1) Oскільки коло дотикається двох взаємно перпендикулярних прямих x = –3 і y = 0, то центр кола лежить на бісектрисі утвореного ними кута – на прямій y = x + 3. Тоді О(x; x + 3).

A(3; 3): OA² = (x – 3)² + (x + 3 – 3)²; ОА² = (x – 3)² + x²;

В(x; 0): OB² = (x – x)² + (0 – x – 3)²; ОB² = (x + 3)²;

C(–3; x + 3): OC² = (–3 – x)² + (x + 3 – x – 3)²; ОC² = (x + 3)².

ОА² = ОВ²; (x – 3)² + x² = (x + 3)²

x² – 6x + 9 + x² = x² + 6x + 9; x² – 12x = 0; x(x – 12) = 0; x₁ = 0;

x₂ = 12.

Тоді y = x + 3; y₁ = 0 + 3 = 3; y₂ = 12 + 3 = 15, Центр О(0; 3) або (12; 15).

Тоді радіус кола ОВ = (x+3)2 = |x + 3|, OB = 0 + 3 = 3 або OB =

= 12 + 3 = 15.

Тоді рівняння кола: x² + (y – 3)² = 9 або (x – 12)² + (y – 15)² =

= 225.