Вправи: 1094

1094. Доведіть тотожність.

Доведемо тотожність, звівши ліву частину рівності до правої:

(a + b)² + (a – b)² = a² + 2a b + b² + a² – 2a b + b² = 2a² + 2b² =

= 2(a² + b²).

2(a² + b²) = 2(a² + b²). Тотожність доведено.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 1

1. Знайдіть відстань між точками А(1; 2) і В(2; 1).

АВ = (1-2)2+(2-1)2 = 12+ 12 = 2.

Відповідь: В.

2. Які координати має середина відрізка МН, якщо М(–3; 0), Н(5; 6)?

Координати середини відрізка (-3+52; 0+62), (1; 3).

Відповідь: Г.

3. Обчисліть: sin 150° + cos 120°.

sin 150° + cos 120° = sin(180° – 30°) + cos(180° – 60°) = sin 30° –

– cos 60° = 12 – 12 = 0.

Відповідь: А.

4. Який кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки

Р(–3; 1) і Т(2; –4)?

Якщо Р(–3; 1), Т(2; 4), то РТ: х+32+3 = у-1-4-1; х+35 = у-1-5;

–5(х + 3) = 5(у – 1); х + 3 = 1 – у; у = 1 – х – 3, у = –х – 2, k = –1.

Відповідь: Б.

5. Обчисліть tg²α– sin²α · tg²α, якщо sinα = 0,5.

tg²α – sin² αtg² α = tg² α(1 – sin² α) = sin2αcos2α • cos²α = sin²α. Якщо

sin α = 0,5, то sin²α = (0,5)² = 0,25.

Відповідь: Г.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 2

1. ABCD — квадрат. Яка рівність є правильною?

Рівні вектори лежать на протилежних сторонах квадрата (паралельні і рівні), співнапрямлені і мають рівні довжини.

Отже, AB = DC.

Відповідь: В.

2. ABCD — паралелограм. Який вектор дорівнює сумі векторів ВА і ВС?

За праилом паралелограма

ВА + ВС = BD.

Відповідь: Б.

3. Відомо, що а (4; 3) ∥ b (m; –12). Чому дорівнює число m?

Вектори а і b колінеарні, тому їх відповідні координати пропорційні і 4m = 3-12, звідки

m = 4 •(-12)3 = –16.

Відповідь: В.

4. Які координати має одиничний вектор а, перпендикулярний до вектора b (2; 2)?

Нехай координати шуканого вектора а(а₁; а₂). За умовою від одиничний, тому (а₁)² + (а₂)² = 1². Такими можуть бути лише вектори з координатами (22; 22) і (22; –22) Заданий вектор b (2; 2) і вектор а перпендикулярні, тоді їх скалярний добуток a • b = 0. Отже, а • b = 2 • a₁ + 2 • a₂ = 0, звідки а₁ = –а₂. Тоді шуканий вектор а (22; –22).

Відповідь: Г.

5. У прямокутному рівнобедреному трикутнику з бічною стороною 2 см проведено медіану з вершини гострого кута. Обчисліть косинус кута між медіаною та гіпотенузою.

Розмістимо прямокутний рівнобедрений трикутник АВС з прямим кутом С так, щоб вершина гострого кута А містилась у початку координат, а вершина прямого кута С лежала на осі Ох. Точка М – середина катета ВС. Нехай е1 – одиничний вектор осі Ох, а е2 – одиничний вектор осі Оу. Знайдемо косинус кута між векторами АВ і АМ (кут між медіаною і гіпотенузок). Розкладемо ці вектори за координатами: АВ = 2е1 + 2е2, АМ = 2е1 + е2.

AB • AM = |AB| • |AM| cos∠BAM;

AB • AM = (2e1 + 2e2)² = 4e1² + 2e1 e2 = 4e1 e2 + e2² = 6 (квадрати координатних векторів дорівнюють одиниці, а їх скалярний добуток дорівнює нулю);

|AB|² = (2e1+ 2e2)² = 4e1² + 8e1 e2 + 4e2² = 8;

|AM|² = (2e1 + e2)² = 4e1² + 4e1 e2 + e2² = 5.

Тоді |AB| = 8 = 22, |AM| = 5. Отже, 6 = 22 • 5 cos∠BAM, звідки cos∠BAM = 622•5 = 310 = 31010.

Відповідь: В.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 3

1. Знайдіть сторону b трикутника АВС, якщо: с = 1 см, ∠B = 45°,

∠C = 30°.

Якщо в ∆АВС задані сторона с = 1 см і кути ∠В = 45°, ∠С = 30°, то

bsinB = csinC, звідки b = c sinBsinC, b = 1 •sin45°sin30° = 22 • 12 = 2 (см).

Відповідь: В.

2. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 10 см, 10 см, 12 см.

S = pp-ap-b(p-c), p = a+b+c2; p = 10+10+122 = 16 (см).

S = 1616-1016-10(16-12) = 16•6•6•4 = 4 • 6 • 2 = 48 (см²).

Відповідь: В.

3. Обчисліть площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 2 см, а кут між бічними сторонами — 30°.

Якщо бічна сторона трикутника 2 см, то і друга 2 см, а якщо кут між ними 30°, то S = 12a² sinγ, S = 12 • 2² • sin 30° = 2 • 12 = 1 (см²).

Відповідь: Г.

4. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють

2 см і 4 см, а один з кутів — 45°.

S = ab sinα, S = 2 • 4 • sin 45° = 8 • 22 = 42 (см²).

Відповідь: А.

5. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо його сторони дорівнюють 4 см, 7 см і 9 см.

R = abc4S. Знайдемо S: p = 4+7+92 = 10 (см),

S = 1010-410-7(10-9) = 10 •6 •3 •1 = 180 = 65 (см²). Тоді R = 4 •7 •94•65 = 2125 = 21510 (см).

Відповідь: Г.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 4

1. Знайдіть кут правильного n–кутника, якщо n = 6.

α = 180°(n-2)n. Якщо n = 6, то α = 180° • 46 = 120°.

Відповідь: В.

2. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює 20π см.

С = 2πR, звідки R = C2π. Якщо С = 20π см, то R = 20π2π = 10 (см).

Відповідь: Г.

3. Знайдіть довжину кола, якщо площа круга дорівнює 16π см².

S = πR², R = Sπ, тоді С = 2π • Sπ = 2πS. Якщо S = 16π см², то

с = 2π •16π = 2 • 4π = 8π (см).

Відповідь: Г.

4. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 9 см, яка відповідає центральному куту 20°.

l = πRn°180°. Якщо R = 9 cм, n° = 20°, то l = π •9 •20180° = π (см).

Відповідь: В.

5. Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює 83 см.

У правильного шестикутника зі стороною а R = a, r = a32, тоді

r = R32. Якщо R = 83 см, то r = 83 • 32 = 4 • 3 = 12 (см).

Відповідь: Г.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 5

1. О — точка перетину діагоналей прямокутника АВСD. Назвіть точку, симетричну точці А відносно точки О.

А, О, С лежать на одній прямій і АО = СО. Отже, т. С. Відповідь: А.

2. АВСD — ромб. Назвіть точку, симетричну точці В відносно прямої АС.

BD ⊥ AC, BD = OD (O – точка перетину діагоналей), тоді симетрична точка D.

Відповідь: Б.

3. Знайдіть відношення площ двох подібних многокутників, якщо коефіцієнт їх подібності дорівнює 0,5.

Якщо k = 0,5, то SS' = (0,5)² = 0,25. Відповідь: Б.

4. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 12 см і 14 см. Менша сторона подібного йому трикутника дорівнює 6 см. Знайдіть решту сторін.

Менша сторона заданого трикутника 4 см, їй відповідає сторона 6 см. Тоді k = 64 = 32. Отже, інші сторони: 12 см • 32 = 18 (см), 14 см • 32 =

= 21 (см).

Відповідь: Г.

5. Площі двох квадратів відносяться, як 1 : 9. Знайдіть периметр другого квадрата, якщо периметр першого дорівнює 24 см.

SS` = 19, то ЗЗ' = 19 = 13. Якщо Р = 24 см, то 24Р' = 13, Р’ = 24 • 3,

Р’ = 72 см.

Відповідь: А.