Відповіді на вправи: 715

715. Сума перших трьох членів спадної геометричної прогресії дорівнює 14, а сума їх квадратів дорівнює 84. Знайдіть три наступні члени цієї прогресії.

Нехай b₁, b₂, b₃ – прогресія, тоді за умовою задачі.

b₁ + b₂ + b₃ = 14;

b₁² + b₂² + b₃² = 84;

(b₁ + b₂ + b₃)² = 196;

b₁² + b₂² + b₃² + 2(b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b3) = 196;

84 + 2(b₁b₂ + b₂b₃ + b₂b₃) = 196;

b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b₃ = 56;

b₁q + b₁²q² + b₁²q³ = 56;

b₁q(1 + q + q²) = 56;

b₁ + b₂ + b₃ = $\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$ = $\frac{b_1(1-q)(1+q+q^2)}{1-q}$ = b₁(1 + q + q²) = 14;

b₁²(1 + q + q²)² = 196;

b₁²q(1 + q + q²) = 56;

$\frac{b_1^2(1+q+q^2{)}^2}{b_1^{2}q(1+q+q^2)}$ = $\frac{196}{56}$; $\frac{1+q+q^2}{q}$ = $\frac{7}{2}$;

2q² + 2q + 2 = 7q; 2q² – 5q + 2 = 0;

D = 9; q₁ = 2 або q₂ = $\frac{1}{2}$;

b₁ = $\frac{14}{1+2+4}$ = 2, якщо q = 2; b₁ = $\frac{14•4}{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$ = 8, якщо q = $\frac{1}{2}$;

b₁ = 2 або b₁ = 8, q = $\frac{1}{2}$; b₂ = 2 • 2 = 4 або b₂ = 8 • $\frac{1}{2}$ = 4.

b₃ = 4 • 2 = 8; b₄ = 8 •2 = 16; b₅ = 16 • 2 = 32; b₆ = 32 • 2 = 64.

b₃ = 4 • $\frac{1}{2}$ = 2; b₄ = 2 • $\frac{1}{2}$ = 1; b₅ = 1 • $\frac{1}{2}$ = 0,5; b₆ = $\frac{\mathrm{0,5}}{2}$ = 0,25.

За умовою задачі прогресія спадна, тому відповідь 1; 0,5; 0,25.