Відповіді на вправи: 714

714. Три числа утворюють геометричну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 63, а сума їх квадратів дорівнює 1701. Знайдіть два наступні члени цієї прогресії.

За умовою числа b₁; b₂; b₃ утворюють геометричну прогресію.

b₁ + b₂ + b₃ = 63;

b₁² + b₂² + b₃² = 1701;

(b₁ + b₂ + b₃)² = 63²;

(b₁ + b₂ + b₃)² = 3963;

b₁² + b₂² + b₃² + 2(bb₂ + b₁b₃ + b₂b₃) = 3969;

1701 + 2(b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b₃) = 3969;

b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b₃ = 1134;

b₁²q + b₁²q² + b₁²q³ = 1134;

b₁ + b₂ + b₃ = $\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$ = $\frac{b_1(1-q)(1+q+q^2)}{1-q}$ = b₁(1 + q + q²) = 63;

b₁²(1 + q + q²)₂ = 3969;

b₁²q(1 + q + q²) = 1134;

$\frac{b_1^2(1+q+q^2{)}^2}{b_1^{2}q(1+q+q^2)}$ = $\frac{3969}{1134}$; $\frac{1+q+q^2}{q}$ = $\frac{7}{2}$;

2 + 2q + 2q² = 7q;

2q² – 5q + 2 = 0;

D = 9.

q₁ = 2; q₂ = $\frac{1}{2}$; якщо q = 2, b₁ = $\frac{63}{1+2+2^2}$ = 9;

якщо q = $\frac{1}{2}$; b₁ = $\frac{63}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$ = $\frac{63}{\frac{7}{4}}$ = $\frac{63•4}{7}$ = 36 – зайвий.

b₁ = 9; b₂ = 9 • 2 = 18; b₃ = 18 • 2 = 36; b₄ = 72; b₅ = 144.

Відповідь: 72; 144.