Відповіді на вправи: 498 (1)

498. Для всіх значень параметра а розв’яжіть нерівність.

1) x² – ах + 1 $\le$ 0;

x² – ах + 1 = 0; D = (–a)² – 4 • 1 • 1 = a² – 4;

Можливі три випадки: 1) D < 0, 2) D = 0, 3) D > 0;

1) D < 0, а² – 4 < 0; а² – 4 = 0; а₁ = –2, а₂ = 2.

2) D = 0, а² – 4 = 0, а₁ = –2, а₂ = 2.

x² + 2x + 1 $\le$ 0, (x + 1)² $\le$ 0, x = –1, х $\in$ {–1}.

x² – 2x + 1 $\le$ 0, (x – 1)² $\le$ 0, x = 1, х $\in$ {1}.

y $\le$ 0 при x $\in$ $\varnothing$.

3) D > 0, а² – 4 > 0.

х $\in$ (–$\infty$; 2) $\cup$ (2; +$\infty$); x₁ = $\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$; x₂ = $\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$.

y $\le$ 0 при x $\in$ [x₁; x₂].

Відповідь: якщо а = –2, то x = –1; якщо а = 2 то x = 1; якщо а $\in$ (–2; 2), то x $\in$ $\varnothing$; якщо а $\in$ (–$\infty$; –2) $\cup$ (2; +$\infty$), то х $\in$ [$\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$; $\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$].

3) ax² – (a – 1)x – 1 $\le$ 0;

1. a = 0; x – 1 $\le$ 0, x $\le$ 1;

2. a $\ne$ 0;

ax² – (a – 1)x – 1 = 0;

D = (–(a – 1))² – 4 • a • (–1) = (a – 1)² + 4a = a² – 2a + 1 + 4a = (a + 1)².

Можливі 2 випадки: 1) D = 0, 2) D > 0.

1) D = 0, (a + 1)² = 0; a = –1;

–x² –(–1 – 1)x – 1 $\le$ 0;

–x² + 2x – 1 $\le$ 0|• (–1);

x² – 2x + 1 $\ge$ 0;

(x – 1)² $\ge$ 0, x = 1.

y $\le$ 0 при х $\in$ (–$\infty$; +$\infty$).

2) D > 0, а + 1² > 0;

х $\in$ (–$\infty$; –1) $\cup$ (–1; +$\infty$), a $\ne$ 0.

x₁ = $\frac{a-1-(a+1)}{2a}$ = $\frac{a-1-a-1}{2a}$ = $\frac{-2}{2a}$ = –$\frac{1}{a}$; x₂ = $\frac{a-1+a+1}{2a}$ = $\frac{2a}{2a}$ = 1.

Графік функції перетинає Ox у двох точках. Можливі 2 випадки:

x₁ < x₂ x₁ > x₂

Відповідь: якщо а = 0, то х $\in$ (–$\infty$; 1]; якщо a = –1, то х $\in$ (–$\infty$; +$\infty$); якщо а $\in$ (–$\infty$; –1) $\cup$ (0; +$\infty$), то х $\in$ [–$\frac{1}{а}$; 1]; якщо а $\in$ (–1; 0), то х $\in$ [1; –$\frac{1}{а}$].