Відповіді на вправи: 3.25

3.25. Відомо, що b > 0 і a > b. Чи є правильною при всіх указаних

значеннях a і b нерівність:

1) Так; (а² + а) – (b² + b) = а² + а – b² – b = (а² – b²) + (а – b) = (а – b)(а + b) + (а – b) = (а – b)(а + b + 1).

Оскільки а > b, то а – b > 0. Оскільки b > 0 і а > b, то а > 0.

Отже, а + b + 1 > 0 і (а – b) • (а + b + 1) > 0, тобто(а² + а) – (b² + b) > 0; а² + а > b² + b при b > 0 і а > b.

2) Ні; при а = 12, b = 13 маємо:

14 – 12 < 19 – 13; –14 < –29;

–14 – (–29) = 29 – 14 = 8-936 = –136 < 0.

3) Так; (2 – a²) – (2 – b²) = 2 – а² – 2 + b² = b² – а² = (b – а)(b + а). Оскільки b < а, то b – а < 0. Оскільки b > 0, а > 0, то а + b > 0.

Отже, (b – а)(b + а) < 0; (2 – a²) – (2 – b²) < 0;

2 – а² < 2 – b² при b > 0 і а > b.

4) Ні; при а = 12 і b = 13 маємо:

12 + 2 < 13 + 3; 212 < 313.