Відповіді на вправи: 24.88 (1-2)

24.88. Нехай S_n — сума n перших членів арифметичної прогресії

(a_n). Знайдіть перший член і різницю прогресії, якщо.

1) a₂ + a₅ + a₈ = 18, a₁ + 2d + a₁ + 4d + a₁ + 7d = 18,

a₂ + a₄ = –2; a₁ + d + a₁ + 3d = –2;

3a₁ + 13d = 18, • 2; 6a₁ + 26d = 36, +

2a₁ + 4d = –2; • (–3); –6a₁ – 12d = 6;

14d = 42; d = 3.

2a₁ + 4 • 3 = –2; 2a₁ = –2 – 12; a₁ = –7.

Відповідь: a₁ = –7; d = 3.

2) a₅ – a₃ = –4, a₁ + 4d – a₁ – 2d = –4, 2d = –4,

a₂a₄ = –3; (a₁ + d)(a₁ + 3d) = –3; (a₁ + d)(a₁ + 3d) = –3;

d = –2, d = –2,

(a₁ – 2)(a₁ – 6) = –3; $a_1^2$ – 6a₁ – 2a₁ + 12 + 3 = 0;

d = –2, d = –2,

$a_1^2$ – 8a₁ + 15 = 0; a₁ = 5 або a₁ = 3.

Відповідь: a₁ = 5, d = –2 або a₁ = 3, d = –2.

3) a₂ + a₄ + a₆ = 36, a₁ + d + a₁ + 3d + a₁ + 5d = 36,

a₂a₃ = 54; (a₁ + d)(a₁ + 2d) = 54;

3a₁ + 9d = 36, a₁ + 3d = 12,

(a₁ + d)(a₁ + 2d) = 54; $a_1^2$ + 3a₁d + 2d² – 54 = 0;

a₁ = 12 – 3d,

(12 – 3d)² + 3d(12 – 3d) + 2d² – 54 = 0;

144 – 72d + 9d² + 36d – 9d² + 2d² – 54 = 0; 2d² – 36d + 90 = 0;

d² – 18d + 45 = 0; d = 3 або d = 15.

Відповідно, а₁ = 12 – 3 • 3 = 3 або а₁ = 12 – 3 • 15 = –33.

Відповідь: a₁ = d = 3 або a₁ = –33, d = 15.

4) S₅ – S₂ – a₅ = 0,1,

a₇ + S₄ = 0,1. Спростимо обидва рівняння.

$\frac{a_1+a_5}{2}$ • 5 – (a₁ + a₂) – a₅ = 0,1; 5a₁ + 5a₅ – 2a₁ – 2a₂ – 2a₅ = 0,2;

3a₁ + 3a₅ – 2a₂ = 0,2; 3a₁ + 3(a₁ + 4d) – 2(a₁ + d) = 0,2;

3a₁ + 3a₁ + 12d – 2a₁ – 2d – 0,2 = 0;

4a₁ + 10d = 0,2; 2a₁ + 5d = 0,1.

a₇ + S₄ = 0,1; a₇ + $\frac{a_1+a_4}{2}$ • 4 = 0,1; a₇ + 2(a₁ + a₄) = 0,1;

a₁ + 6d + 2a₁ + 2a₄ = 0,1; 3a₁ + 6d + 2a₁ + 6d = 0,1;

5a₁ +12d = 0,1. Маємо систему рівнянь:

2a₁ + 5d = 0,1, _

5a₁ + 12d = 0,1;

a₁ = –$\frac{7}{3}$d; –3a₁ – 7d = 0;

Якщо a₁ = –$\frac{7}{3}$d, тоді 2 • (–$\frac{7}{3}$d) + 5d = 0,1; –14d + 15d = 0,3; d = 0,3.

a₁ = –$\frac{7}{3}$ • 0,3 = –0,7.

Відповідь: a₁ = –0,7; d = 0,3.

5) S₄ = 9, S₆ = 22,5. $\frac{2a_1+3d}{2}$ • 4 = 9, (2a₁ + 3d) • 2 = 9,

$\frac{2a_1+5d}{2}$ • 6 = 22,5; (2a₁ + 5d) • 3 = 22,5;

2a₁ + 3d = 4,5, _

2a₁ + 5d = 7,5;

–2d = –3; d = 1,5; 2a₁ + 3 • 1,5 = 4,5; 2a₁ = 0; a₁ = 0.

Відповідь: a₁ = 0, d = 1,5.