Відповіді на вправи: 24.3

24.3. Доведіть, що є правильною нерівність:

1) а⁵ – 5 – 5а⁴ + а = a⁵ – 5а⁴ + а – 5 = а⁴(а – 5) + (а – 5) = (а – 5)(а⁴ + 1). а⁴ + 1 > 0 при будь–якому значенні а, при а ≥ 5

а – 5 ≥ 0, отже, різниця є невід’ємною. Тоді а⁵ – 5 ≥ 5а⁴ + а.

2) b³ + b + 2 = b³ + 1 + b + 1 = (b + 1)(b² – 6 + 1) + (b + 1) = (b + 1) • (b² – b + 2) = (6 + 1) • (b² – 2 • $\frac{1}{2}$b + $\frac{1}{4}$ – $\frac{1}{4}$ + 2) = (b +1) • (b – $\frac{1}{2}$)² + 2$\frac{3}{4}$) ≥ 0, оскільки b + 1 ≥ 0 при b ≥ –1, (b – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0, 2$\frac{3}{4}$ > 0.

3) с³ + с – Зc² – 3 = с³ – 3c² + c – 3 = c²(c – 3) + (c – 3) = (c – 3) • (c² + 1) ≥ 0, с² + 1 > 0 при будь–якому значенні с, с – 3 ≥ 0 при

с ≥ 3.