Відповіді на вправи: 24.2

24.2. Доведіть нерівність:

1) 3(а + 6) – (За + 6)(а + 4) = 3a² + 18а – 3a² – 12а – 6а – 24 = –2 < 0, отже, За(а + 6) < (За + 6)(а + 4);

2) (2b – 1)(3b + 2) – (3b – 1)(2b +1) = 6b² + 4b – 3b – 2 – 6b² – 3b + 2b + 1 = –1 < 0, отже, (2b – 1)(3b + 2) < (3b – 1)(2b + 1);

3) 25m² + n² – 10mn = (5m – n)² ≥ 0, отже, 25m² + n² ≥ 10mn;

4) 2а² – 4а + 5 = 2(а² – 2а + 1) + 3 = 2(а – 1)² + 3 > 0;

5) х² + х + 1 = х² + 2 • х • $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ – $\frac{1}{4}$ + 1 = (x + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$ > 0;

6) 4y² – 12 – 12у + 21 = 4у² – 12у + 9 = (2у – З)² ≥ 0, отже,

4у² – 12 ≥ 12у – 21;

7) а² + b² + 2 – 2(а + b) = а² + b² – 2а – 2b + 2 = а² – 2а + 1 + b² – 2b + 1 = (а – 1)² + (b – 1)² ≥ 0, значить, а² + b² + 2 ≥ 2(а + b);

8) а² + b² + с² + 3 – 2(а + b + с) = а² – 2а + 1 + b² – 2b + 1 + с² – 2с + 1 = (а – 1)² + (b – 1)² + (с – 1)² ≥ 0, значить, а² + b² + с² + 3 ≥ 2(а + b + с);

9) 2а² + 5b² + 2аb + 1 = а² + 2аb + b² + а² + 4b² + 1 = (а + b)² + а² + 4b² + 1 > 0, значить, 2а² + 5b² + 2аb + 1 > 0;

10) х² + у² + 15 – 6х – 4y = х² – 6х + 9 + у² – 4y + 4 + 2 = (х – З)² + (у – 2)² + 2 > 0, значить, х² + у² + 15 > 6x + 4у.