Відповіді на вправи: 18.38

18.38. Дано три числа, які утворюють арифметичну прогресію. Їхня сума дорівнює 30. Якщо від першого числа відняти 5, від другого відняти 4, а третє залишити без змін, то отримані числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть дані числа.

Нехай а₁, а₂ і а₃ – числа, що утворюють арифметичну прогресію, тоді а₂ = $\frac{{а}_1+{а}_3}{2}$, 2а₂ = а₁ + а₃. За умовою а₁ + а₂ + а₃ = 30;

2а₂ + а₂ = 30; а₂ = 10. Тоді а₁ + а₃ = 20.

Числа а₁ – 5, а₂ – 4 і а₃ утворюють геометричну прогресію.

Тоді (а₁ – 5) • а₃ = (10 – 4)²; (а₁ – 5) • а₃ = 36.

a₁ + a₃ = 20, a₁ = 20 – a₃, a₁ = 20 – a₃,

a₁a₃ – 5a₃ = 36; (20 – a₃)a₃ – 5a₃ = 36; 20a₃ – $a_3^2$ – 5a₃ + 36 = 0;

a₁ = 20 – a₃, a₁ = 20 – a₃, a₃ = 12, або a₃ = 3,

$a_3^2$ – 15a₃ + 36 = 0; a₃ = 12 або a₃ = 3; a₁ = 8 a₁ = 17.

Відповідь: 8, 10, 12 або 17, 10, 3.