Відповіді на вправи: 13.25 (1)

13.25. Скільки розв’язків залежно від значення a має система

рівнянь:

1) x² + y² = 9,

y = a – |x|.

х² + у² = 9 — рівняння кола з центром у початку координат і радіусом 3.

у = а – |x| — ламана, отримана з графіка у = |х| симетричним відображенням відносно осі абсцис і перенесенням його вздовж осі ординат на а одиниць.

а) Якщо а = 3, графіки перетинаються у 3 точках, тобто система має З розв’язки.

Якщо а = –3 — спільна точка одна, система має один розв’язок.

б)

∆СОВ – рівнобедрений (ОВ = ОС); ∠СВО = 45°. ОА ⊥ ВС (радіус, проведений в точку дотику).

ОА = 3, ОВ = $\frac{\mathrm{ОА}}{\sin 45°}$ = 3$\sqrt{2}$.

Отже, якщо а = ОВ = 3$\sqrt{2}$, то графік у = a – |x| дотикається кола у

2–х точках, система має два розв’язки. Стільки ж розв’язків буде, якщо –3 < a < 3, тобто «вершина» графіка у = a – |x| знаходиться всередині кола.

в) Якщо а < –3 або а > 3$\sqrt{2}$, коренів немає.

г) Якщо 3 < а < 3$\sqrt{2}$ – розв’язків 4.

2) x² + y² = a², ($\frac{4}{y}$)² + y² = a², y⁴ – a²y² + 16 = 0,

xy = 4; x = $\frac{4}{y}$; x = $\frac{4}{y}$.

у⁴ – а²у² + 16 = 0. Нехай у² = t. t² – а²t + 16 = 0, D = а⁴ – 64.

D = 0, а⁴ – 64 = 0, а⁴ = 64, а = ±2$\sqrt{2}$. Маємо одне значення t, розв’язки системи.

D < 0, якщо – 2$\sqrt{2}$ < а < 2$\sqrt{2}$ — розв’язків немає.

D > 0, якщо а < –2$\sqrt{2}$ або а > 2$\sqrt{2}$. Тоді рівняння t² – а²t + 16 = 0 має два розв’язки, відповідно, система має 4 розв’язки.