Відповіді на вправи: 13.24 (1)

13.24. Скільки розв’язків залежно від значення a має система

рівнянь:

1) y = |x|,

x² + y = a. |x| ≥ 0, тоді y ≥ 0, x² + y ≥ 0.

Таким чином, якщо а < 0, то система розв’язків не має; якщо а = 0,

то система має єдиний розв’язок (0; 0); якщо а > 0, то два розв’язки. Геометрично графік функції у = |x| складається з половин бісектрис І і II координатних кутів.

x² + у = а; у = –х² + а — парабола, вітки якої напрямлені вниз, а вершина (0; а). Якщо а = 0, то графіки мають одну спільну точку; якщо a < 0, то графіки не перетинаються; якщо а > 0, то графіки перетинаються у двох точках.

2) x² + y² = a², 16 + y² = a²,

|x| = 4; |x| = 4.

Оскільки у² ≥ 0, то, якщо |а| = 4, то система має два розв’язки (4; 0) та (–4; 0); якщо –4 < а < 4, то розв’язків немає; якщо а < – 4 або

а > 4, то розв’язків чотири.

Геометрично х² + у² = а² — рівняння кола з центром у початку координат і радіусом а.

|x| = 4 — рівняння двох прямих x = 4 або х = –4, паралельних осі ординат. Якщо –4 < а < 4, то коло і прямі не мають спільних точок. Якщо а = 4, то прямі дотичні до кола у точках (4; 0) і (–4; 0). Якщо

а < –4 або a > 4, то радіус кола більший за відстань від його центра до прямих, коло має з прямими 4 спільних точки.