Відповіді на вправи: 13.22

13.22. При яких значеннях a система рівнянь

1) має один розв’язок; 2) має два розв’язки; 3) не має розв’язків?

x² + y² = 9, x² + y² = 9, (y + a)² + y² – 9 = 0,

x – y = a; x = y + a; x = y + a;

y² + 2ay + a² + y² – 9 = 0, 2y² + 2ay + a² – 9 = 0,

x = y + a; x = y + a.

1) Система має один розв’язок, коли перше рівняння має один корінь, тобто D = 0.

2y² + 2ay + a² – 9 = 0;

D = (2a)² – 4 • 2 • (a² – 9) = 4a² – 8a² + 72 = 72 – 4a².

D = 0; 72 – 4a² = 0; a² = 18; a = ±$\sqrt{18}$ = ±3$\sqrt{2}$.

2) Система має два розв’язки, коли D > 0.

72 – 4a² > 0; 4a² < 72; a² < 18; –З$\sqrt{2}$ < a < 3$\sqrt{2}$.

3) Система не має розв’язків, коли D < 0.

72 – 4а² < а² > 72; а² > 18; lal > $\sqrt{18}$; а < –3$\sqrt{2}$ або a > З$\sqrt{2}$.

Відповідь: 1) a = 3$\sqrt{2}$ або a = –З$\sqrt{2}$; 2) –З$\sqrt{2}$ < a < 3$\sqrt{2}$; 3) а < –З$\sqrt{2}$ або a > 3$\sqrt{2}$.