Відповіді на вправи: 13.14 (1)

13.14. Розв’яжіть систему рівнянь.

1) x + y – xy = 1,

xy(x + y) = 20. Зробимо заміну x + y = a, xy = b.

a – b = 1, a = b + 1, a = b + 1, b = –5, або b = 4,

ab = 20; b(b + 1)–20 = 0; b² + b – 20 = 0; a = –4 a = 5.

a) x + y = –4, x = –y – 4, x = –y – 4,

xy = –5; y(–y – 4) + 5 = 0; –y² – 4y + 5 = 0;

x = –y – 4, y = –5 або y = 1, y = –5, або y = 1,

y² + 4y – 5 = 0; x = –y – 4; x = 1 x = –5.

б) x + y = 5, x = 5 – y, x = 5 – y, x = 5 – y,

xy = 4; y(5 – y) – 4 = 0; 5y – y² – 4 = 0; y² – 5y + 4 = 0;

y = 1 або y = 4, y = 1 або y = 4,

x = 5 – y; x = 4 x = 1.

Відповідь: (1; –5), (–5; 1), (4; 1), (1; 4).

2) $\frac{y}{x}$ – $\frac{x}{y}$ = $\frac{21}{10}$, $\frac{y^2-x^2}{\mathrm{xy}}$ = $\frac{21}{10}$, $\frac{(y-x)(y+x)}{\mathrm{xy}}$ = $\frac{21}{10}$, $\frac{3(y-x)}{\mathrm{xy}}$ = $\frac{21}{10}$,

x + y = 3; x + y = 3; x + y = 3; x = 3 – y;

10(y – x) = 7xy, 10y – 10(3 – y) – 7(3 – y) = 0,

x = 3 – y; x = 3 – y;

10y – 30 + 10y – 21y + 7y² = 0, 7у² – y – 30 = 0,

x = 3 – y; x = 3 – y.

7y² – y – 30 = 0; D = 1 + 840 = 841 = 29²;

у₁ = $\frac{1-29}{14}$ = –2; у₁ = $\frac{1+29}{14}$ = $\frac{30}{14}$ = 2$\frac{1}{7}$.

x₁ = 3 –(–2) = 5; x₂ = 3 – 2$\frac{1}{7}$ = $\frac{6}{7}$.

Відповідь: (5; –2), ($\frac{6}{7}$; 2$\frac{1}{7}$).

3) $\frac{х}{у}$ + $\frac{6у}{х}$ = 5, Нехай $\frac{х}{у}$ = a, тоді $\frac{у}{х}$ = $\frac{1}{а}$, a $\ne$ 0.

x² + 4xy – 3y² = 18.

Перше рівняння запишеться так: a + $\frac{5}{a}$ = 5; a² – 5a + 6 = 0; a = 2 або a = 3.

a) $\frac{x}{y}$ = 2, x = 2y, x = 2y,

x² + 4xy – 3y² = 18; 4y² + 8y² – 3y² – 18 = 0; 9² = 18;

x = 2у, y = $\sqrt{2}$, або y = –$\sqrt{2}$,

y² = 2; x = 2$\sqrt{2}$ x = –2$\sqrt{2}$.

б) $\frac{х}{у}$ = 3, x = 3y, x = 3y,

x² + 4xy – 3y² = 18; 9y² + 12y² – 3y² = 18; 18y² = 18;

y = 1, або у = –1,

x = 3 x = –3.

Відповідь: (2$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$), (–2$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$), (3; 1), (–3; –1).

4) $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{6}$, +

$\frac{1}{x}$ – $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{6}$; $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{6}$ – $\frac{3}{6}$; $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{3}$; y = 3.

$\frac{2}{x}$ = 1; x = 2.

Відповідь: (2; 3).

5) $\frac{y}{x}$ + xy = –10,

$\frac{5y}{x}$ – 2xy = 13. Заміна $\frac{y}{x}$ = u, xy = v.

u + v = –10, u = –v – 10, u = –v – 10,

5u – 2v = 13; 5(–v – 10) – 2v = 13; –5v – 50 – 2v = 13;

u = –v – 10, u = –1,

7v = –63; v = –9.

$\frac{у}{х}$ = –1, y = –x, y = –x, x = –3, або x = 3,

ху = –9; –x² = –9; x² = 9; y = 3 y = –3.

Відповідь: (3; –3), (–3; 3).

6) x²y² + ху = 6, x² y² + ху – 6 = 0,

2x – y = 3; y = 2x – 3.

Нехай xy = u, тоді u² + u – 6 = 0; u = –3 або u = 2.

a) ху = –3, x(2x – 3) = –3, 2x² – 3х + 3 = 0,

y = 2x – 3; y = 2x – 3; y = 2x – 3.

2x² – 3х + 3 = 0; D = 9 – 24 < 0. Розв'язків немає.

б) ху = 2, x(2x – 3) = 2, 2x² – 3x – 2 = 0,

y = 2x – 3; y = 2x – 3; y = 2x – 3.

2x² – 3x – 2 = 0; D = 9 + 16 = 25; x₁ = $\frac{3-5}{4}$ = –$\frac{1}{2}$, x₂ = $\frac{3+5}{4}$ = 2.

y₁ = –1 – 3 = –4; y₂ = 4 – 3 = 1.

Відповідь: (–$\frac{1}{2}$; –4), (2; 1).