Задачі підвищеної складності: 42 (1)

42. За допомогою заміни y = mx розв’яжіть си стеми рівнянь, ліві частини яких є од норідними многочленами, тобто многочленами, всі доданки яких одного і того самого степеня:

1) x² + 2y² = 17,

x² – 2xy = –3. Нехай y = mx, тоді:

x² + 2m²x² = 17; x²(1 + 2m²) = 17; 1+2m21-2m = –173,

x² – 2mx² = –3; x²(1 – 2m) = –3; x²(1 – 2m) = –3;

3 + 6m² = –17 + 34m; 6m² – 34m + 20 = 0;

x²(1 – 2m) = –3; x²(1 – 2m) = –3;

3m² – 17m + 10 = 0; m = 5, m = 23; m = 5, або

x²(1 – 2m) = –3; x²(1 – 2m) = –3; –9x² = –3;

m = 23; Тоді: m = 5, m = 5,

x²(–13) = –3; x = 13, x = –13; x = 3, x = –3.

Отже, маємо чотири розв’язки:

х = 13, x = –13; x = 3, x = –3,

х = 53; x = –53; y = 2; y = –2.

Відповідь: (13 ; 53), (–13 ; –53), (3 ;2), (–3; 2).

2) 2x² – 3xy + y² = 3,

2x² – 3xy – 2y² = 6, Нехай y = mx, тоді:

2x² – 3mx² + m²x² = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3,

x² + 2mx² – 2m²x² = 6; x²(1 + 2m – 2m²) = 6;

x2(1+2m-2m2)x2(2-3m-m2) = 2; 1+2m-2m22-3m-m2 = 2;

x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3,

1 + 2m – 2m² = 4 – 6m + 2m²; –4m² + 8m – 3 = 0;

x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3,

4m² – 8m + 3 = 0; m = 12, m = 32; m = 12,

x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – 32 + 14) = 3,

або m = 32; m = 12, або m = 32, m = 12,

x²(2 – 92 + 94) = 3, x² • 34 = 3, x² • (–14) = 3, x² = 4;

або m = 32;

x² = –12; розв’язків немає. Отже, маємо розв’язки:

x = 2; x = –2,

y = 1; y = –1.

Відповідь: (2 ;1), (–2; –1).