Задачі підвищеної складності: 42 (1)

42. За допомогою заміни y = mx розв’яжіть си стеми рівнянь, ліві частини яких є од норідними многочленами, тобто многочленами, всі доданки яких одного і того самого степеня:

1) x² + 2y² = 17,

x² – 2xy = –3. Нехай y = mx, тоді:

x² + 2m²x² = 17; x²(1 + 2m²) = 17; $\frac{{1+2m}^2}{1-2m}$ = –$\frac{17}{3}$,

x² – 2mx² = –3; x²(1 – 2m) = –3; x²(1 – 2m) = –3;

3 + 6m² = –17 + 34m; 6m² – 34m + 20 = 0;

x²(1 – 2m) = –3; x²(1 – 2m) = –3;

3m² – 17m + 10 = 0; m = 5, m = $\frac{2}{3}$; m = 5, або

x²(1 – 2m) = –3; x²(1 – 2m) = –3; –9x² = –3;

m = $\frac{2}{3}$; Тоді: m = 5, m = 5,

x²(–$\frac{1}{3}$) = –3; x = $\frac{1}{\sqrt{3}}$, x = –$\frac{1}{\sqrt{3}}$; x = 3, x = –3.

Отже, маємо чотири розв’язки:

х = $\frac{1}{\sqrt{3}}$, x = –$\frac{1}{\sqrt{3}}$; x = 3, x = –3,

х = $\frac{5}{\sqrt{3}}$; x = –$\frac{5}{\sqrt{3}}$; y = 2; y = –2.

Відповідь: ($\frac{1}{\sqrt{3}}$ ; $\frac{5}{\sqrt{3}}$), (–$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ; –$\frac{5}{\sqrt{3}}$), (3 ;2), (–3; 2).

2) 2x² – 3xy + y² = 3,

2x² – 3xy – 2y² = 6, Нехай y = mx, тоді:

2x² – 3mx² + m²x² = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3,

x² + 2mx² – 2m²x² = 6; x²(1 + 2m – 2m²) = 6;

$\frac{{x^2(1+2m-2m}^2)}{x^2{(2-3m-m}^2)}$ = 2; $\frac{{1+2m-2m}^2}{{2-3m-m}^2}$ = 2;

x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3,

1 + 2m – 2m² = 4 – 6m + 2m²; –4m² + 8m – 3 = 0;

x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3,

4m² – 8m + 3 = 0; m = $\frac{1}{2}$, m = $\frac{3}{2}$; m = $\frac{1}{2}$,

x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – 3m + m²) = 3, x²(2 – $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{4}$) = 3,

або m = $\frac{3}{2}$; m = $\frac{1}{2}$, або m = $\frac{3}{2}$, m = $\frac{1}{2}$,

x²(2 – $\frac{9}{2}$ + $\frac{9}{4}$) = 3, x² • $\frac{3}{4}$ = 3, x² • (–$\frac{1}{4}$) = 3, x² = 4;

або m = $\frac{3}{2}$;

x² = –12; розв’язків немає. Отже, маємо розв’язки:

x = 2; x = –2,

y = 1; y = –1.

Відповідь: (2 ;1), (–2; –1).