Задачі підвищеної складності: 41 (1)

41. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) 3x2+y2-1 – 2yx = 1, x² + y² = a, 3a-1 – 2b = 1,

x² + y² + 4xy = 22; xy = b; a + 4b = 22;

3b + 2a – 2 = ab – b, 4b + 2a – 2 – ab = 0,

a + 4b = 22 ; a ≠ 1, b ≠ 0; a = 22 – 4b;

4b + 44 – 8b – 2 – 22b + 4b² = 0, 4b² – 26b + 42 = 0,

a = 22 – 4b; a = 22 – 4b;

2b² – 13b + 21 = 0, b = 3, b = 3,5,

a = 22 – 4b; a = 22 – 4b.

Отже, маємо дві системи:

x² + y² = 10, x² + y² = 8,

xy = 3; xy = 3,5.

а) x² + y² = 10, 9x² + y² = 10, 10y² = 10, y² = 1,

xy = 3; x = 3y;  x = 3y; x = 3y;

x = 3, або х = –3,

y = 1 y = –1.

б) x² + y² = 8, 12,25y² + y² = 8, 13,25y² = 8, y = ±813,25,

xy = 3,5; x = 3,5y; x = 3,5y; x = 3,5y;

y = ±81314, y = ±8 :534, y = ±8•453, y = ±4253,

x = 3,5y; x = 3,5y; x = 3,5y; x = 3,5y;

y = ±410653•53, y = ±4 • 10653, x = 72 • 410653 = 1410653,

x = 3,5y; x = 3,5y; y = 410653; або

x = –1410653,

y = –410653.

Відповідь: (3; 1), (1; 3), (1410653; 1410653), (–1410653; –1410653).

2) 3x2+y2 + 2xy = 215, x² + y² = a, 1a + b = 215, b = 215 – 1a,

12xy + x² + y² = 214; 2xy = b ; 1b + a = 214, 1b + a = 214,

b = 21a-55a, b = 21a-55a,

5a21a-5 + a = 214, 20a + a(21a – 5) • 4 = 21(21a – 5), a ≠ 521;

b = 21a-55a, b = 21a-55a, b = 21a-55a,

84a² = 441a – 105; 84a² – 441a + 105 = 0; 4a² – 21a + 5 = 0;

b = 21a-55a, a = 5, або a = 14;

a = 5, a = 14; b = 4, b = 15.

а) x² + y² = 14, x² + y² = 14, x² + y² = 14, x² + 1100x2 = 14,

2xy = 15; xy = 110; y = 110x; y = 110x;

100x⁴ + 1 – 25x² = 0; 100x⁴ – 25x² + 1 = 0; x² = 15, x² = 120,

y = 110x; y = 110x; y = 110x;

Тоді маємо чотири розв’язки:

x = 15, x = –15, x = 125, x = –125,

y = 510, y = –510, y = 55, y = –55.

б) x² + y² = 5, x² + y² = 5, x² + 4x2 – 5 = 0, x⁴ – 5x² – 5 = 0;

2xy = 4; xy = 2; y = 2x; y = 2x;

Тоді маємо чотири розв’язки:

x = 2, x = –2, x = 1, x = –1;

y = 1; y = –1; y = 2; y = –2.

Відповідь: (2 ; 1), (–2 ; –1), (–1 ; –2), (15 ; 510), (–15 ; –510), (125 ; 55), (–125 ; –55).