Задачі підвищеної складності: 40 (1)

40. Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:

1) x + y + xy = 7, x + y + xy = 7, x + y = a,

x² + y² + xy = 13; x² + 2xy + y² – xy = 13; xy = b;

a + b = 7, b = a² – 13, b = a² – 13,

a² – b = 13; a + a² – 13 – 7 = 0; a² + a – 20 = 0;

b = a² – 13, a = 4, або a = –5,

a = 4 або a = –5; b = 3 b = 12.

a) x + y = 4, x = 4 – y, x = 4 – y, y = 3, або y = 1,

xy = 3; 4y – y² = 3; y² – 4y + 3 = 0; x = 1 x = 3.

б) x + y = –5, x = –y – 5, x = –y – 5,

xy = 12; –y² – 5y – 12 = 0; y² + 5y + 12 = 0.

D = 25 – 48 < 0. Розв’язків немає.

Відповідь: (1; 3), (3; 1).

2) x² + y² = 34, x² + 2xy + y² – 2xy = 34, x + y = a,

x + y + xy = 23; x + y + xy = 23; xy = b;

a² – 2b = 34, b = 23 – a, b = 23 – a,

a + b = 23; a² – 46 + 2a – 34 = 0; a² + 2a – 80 = 0;

D = 4 + 320 = 324 = 18².

b = 23 – a, a = 8, або a = –10,

a = 8 або a = –10; b = 15 b = 33.

a) x + y = 8, y = 8 – x, y = 8 – x, y = 8 – x,

xy = 15; 8x – x² – 15 = 0; x² – 8x + 15 = 0; x = 3 або x = 5;

x = 3, або x = 5,

y = 5 y = 3.

б) xy = 33, x = –y – 10,

x + y = –10; y² + 10x + 33 = 0.

D = 100 – 132 < 0. Розв’язків немає.

Відповідь: (3; 5) , (5; 3).