Відповіді до завдань § 1 - § 7: 3.27 (1-2)

3.27. Доведіть нерівність.

1) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши: (mn+12) • (m+ n2) ≥ mn • mn;

(mn+12) • (m+ n2) ≥ m2n2;

(mn + 1)(m + n) ≥ m2n2;

(mn + 1)(m + n) ≥ 4mn, що й треба було довести.

2) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши: a+2c2 ≥ 2ac; b+2a2 ≥ 2ab;

c+2b2 ≥ 2bc; a + 2c ≥ 22ac;

b + 2a ≥ 22ab; c + 2b ≥ 22bc.

Перемножимо ці нерівності почленно:

× a + 2c ≥ 22ac;

b + 2a ≥ 22ab;

c + 2b ≥ 22bc;

(a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) ≥ 82ac • 2ab • 2cb, отже, (a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) ≥ 162abc, що й треба було довести.

3) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:

x+32 > 3x; y+32 > 3y; z+32 > 3z; x + 3 > 23x;

y + 3 > 23y; z + 3 > 23z.

Перемножимо ці нерівності почленно:

x + 3 > 23x;

× y + 3 > 23y;

z + 3 > 23z;

(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 83x•3y•3z;

(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 89•3xyz;

Якщо xyz = 3, маємо:

(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 8 • 9;

(x + 3)(y + 3)(z + 3) ≥ 72, що й треба було довести.