Відповіді до завдань § 1 - § 7: 3.27 (1-2)

3.27. Доведіть нерівність.

1) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши: ($\frac{\mathrm{mn}+1}{2}$) • ($\frac{m+n}{2}$) $\ge$ $\sqrt{\mathrm{mn}}$ • $\sqrt{\mathrm{mn}}$;

($\frac{\mathrm{mn}+1}{2}$) • ($\frac{m+n}{2}$) $\ge$ $\sqrt{m^2{n}^2}$;

(mn + 1)(m + n) $\ge$ $\sqrt{m^2{n}^2}$;

(mn + 1)(m + n) $\ge$ 4mn, що й треба було довести.

2) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши: $\frac{a+2c}{2}$ $\ge$ $\sqrt{2\mathrm{ac}}$; $\frac{b+2a}{2}$ $\ge$ $\sqrt{2\mathrm{ab}}$;

$\frac{c+2b}{2}$ $\ge$ $\sqrt{2\mathrm{bc}}$; a + 2c $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{ac}}$;

b + 2a $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{ab}}$; c + 2b $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{bc}}$.

Перемножимо ці нерівності почленно:

× a + 2c $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{ac}}$;

b + 2a $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{ab}}$;

c + 2b $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{bc}}$;

(a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) $\ge$ 8$\sqrt{2\mathrm{ac}}$ • $\sqrt{2\mathrm{ab}}$ • 2$\sqrt{\mathrm{cb}}$, отже, (a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) $\ge$ 16$\sqrt{2}$abc, що й треба було довести.

3) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:

$\frac{x+3}{2}$ > $\sqrt{3x}$; $\frac{y+3}{2}$ > $\sqrt{3y}$; $\frac{z+3}{2}$ > $\sqrt{3z}$; x + 3 > 2$\sqrt{3x}$;

y + 3 > 2$\sqrt{3y}$; z + 3 > 2$\sqrt{3z}$.

Перемножимо ці нерівності почленно:

x + 3 > 2$\sqrt{3x}$;

× y + 3 > 2$\sqrt{3y}$;

z + 3 > 2$\sqrt{3z}$;

(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 8$\sqrt{3x•3y•3z}$;

(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 8$\sqrt{9•3\mathrm{xyz}}$;

Якщо xyz = 3, маємо:

(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 8 • 9;

(x + 3)(y + 3)(z + 3) $\ge$ 72, що й треба було довести.