Відповіді до завдань § 1 - § 7: 3.26 (1-2)

3.26. Доведіть нерівність:

1) (x³ + y)(x + y³) > 4х²у², якщо х ≥ 0, у ≥ 0.

Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши: (x3+ y2) • (x+y3 2) ≥ x3y • xy3;

(x3+ y2) • (x+ y32) ≥ x4y4;

(x³ + y)(x + y³) ≥ x4y4;

(x³ + y)(x + y³) ≥ 4x²y², що й треба було довести.

2) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:

(m+62) • (n+32) • (p+22) ≥ 6m•3n•2p;

(m+62) • (n+32) • (p+22) ≥ 36mnp;

(m + 6)(n + 3)(p + 2) ≥ 6 • 8mnp;

(m + 6)(n + 3)(p + 2) ≥ 48mnp, що й треба було довести.

3) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:

(a+12) • (b+12) • (c+12) ≥ a•b•c.

Враховуючи що abc = 16, маємо:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 816;

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 32, що й треба було довести.