Відповіді до завдань § 8 - § 11: 11.21 (1)

11.21. Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:

1) у = –4х² + 8х.

Координати вершини параболи:

х_в = –b2a = –8-8 = 1; у_в = –4 + 8 = 4.

Точки перетину з віссю Ох: –4х² + 8х = 0;

4х(–х + 2) = 0; х₁ = 0, х₂ = 2.

Точка перетину з віссю Оу: у = 0.

а) Область значень: (–∞; 4].

б) Нулі функції: х₁ = 0, х₂ = 2.

в) Функція зростає на проміжку (–∞; 1];

функція спадає на проміжку [1; +∞).

г) у > 0 на проміжку (0; 2); у ≤ 0 на проміжках (–∞; 0] ∪ [2; +∞).

2) y = 2х² – 8х + 6.

Координати вершини параболи:

х_в = –b2a = –-84 = 2; у_в = 2 x 4 – 8 x 2 + 6 = –2.

Точки перетину з віссю Ох: 2х² – 8х + 6 = 0; х² – 4х + 3 = 0;

х₁ = 3, х₂ = 1.

Точка перетину з віссю Оу: у = 6.

а) Область значень: [–2; +∞).

б) Нулі функції: х₁ = 3, х₂ = 1.

в) Функція зростає на проміжку (2; +∞); спадає на проміжку (–∞; 2).

г) у ≥ 0, якщо х ∈ (–∞; 1) ∪ [3; +∞); y < 0, якщо х ∈ (1 ; 3).

3) y = (x – 1)(x – 5) = x² + 4x – 5.

Координати вершини параболи:

х_в = –b2a = –42 = –2; у_в = (–2)² + 4 • (–2) – 5 = 4 – 8 – 5 = –9.

Точки перетину з віссю Ох: х² + 4х – 5 = 0; х₁ = –5, х₂ = 1.

Точка перетину з віссю Оу: у = –5.

а) Область значень функції: [–0; +∞).

б) Нулі функції: х₁ = –5, х₂ = 1.

в) Функція зростає на проміжку (–2; +∞);

спадає на проміжку (–∞; –2).

г) y ≥ 0, якщо х ∈ (–∞; –5] ∪ [1; +∞); у < 0, якщо х ∈ (–5; 1).

4) у = 2(х + 1)(х – 3); у = 2(х² – 2х – 3); у = 2х² – 4х – 6.

Координати вершини параболи:

хв = –b2a = –-44 = 1; ув = –8.

Точки перетину з віссю Ох: х₁ = –1, х₂ = 2.

Точка перетину з віссю Оу: у = –6.

а) Область значень: (–8; +∞).

б) Нулі функції х₁ = –1, х₂ = 3.

в) Функція зростає на проміжку (1; +∞); спадає на проміжку

(–∞; 1).

г) у ≥ 0 на проміжках (–∞; –1) і (3; +∞); у < 0, якщо х ∈ (–1; 3).