Відповіді до завдань § 1 - § 7: 1.27

1.27. Доведіть, що:

1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

$\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ – 2 = $\frac{a^2+b^2-2\mathrm{ab}}{\mathrm{ab}}$ = $\frac{{(a-b)}^2}{\mathrm{ab}}$.

(а – b)² ≥ 0. Оскільки а > 0, b > 0,то аb > 0, отже, $\frac{{(a-b)}^2}{\mathrm{ab}}$ ≥ 0, тоді

$\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ ≥ 2, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

$\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ + 2 = $\frac{a^2+b^2+2\mathrm{ab}}{\mathrm{ab}}$ = $\frac{{(a+b)}^2}{\mathrm{ab}}$. (a + b)² ≥ 0. Оскільки a < 0,

b > 0, то ab < 0, отже, $\frac{{(a+b)}^2}{\mathrm{ab}}$ ≤ 0, тоді $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ ≤ –2, що й треба було довести.