Відповіді до завдань § 1 - § 7: 1.26

1.26. Доведіть, що:

1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності;

$\frac{7a}{2b}$ + $\frac{8b}{7a}$ – 4 = $\frac{{49a}^2+{16b}^2-56\mathrm{ab}}{14\mathrm{ab}}$ = $\frac{{(7a-4b)}^2}{14\mathrm{ab}}$.

(7a – 4b)² ≥ 0. Оскільки a і b — числа одного знака, то 14ab > 0, отже, $\frac{{(7a-4b)}^2}{14\mathrm{ab}}$ ≥ 0, тоді $\frac{7a}{2b}$ + $\frac{8b}{7a}$ ≥ 4, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

$\frac{3m}{5n}$ + $\frac{5n}{12m}$ – 1(–1) = $\frac{{36m}^2+{25n}^2+60\mathrm{mn}}{60\mathrm{mn}}$ = $\frac{{(6m+5n)}^2}{60\mathrm{mn}}$.

(6m + 5n)² > 0. Оскільки m і n — числа різних знаків, то 60nm < 0, отже, $\frac{{(6m+5n)}^2}{60\mathrm{mn}}$ ≤ 0, тоді $\frac{3m}{5n}$ + $\frac{5n}{12m}$ ≤ –1, що й треба було довести.