Відповіді до завдань § 1 - § 7: 1.22

1.22. Доведіть, що:

1) Спростимо вираз в лівої частині нерівності:

m³ + m² + 5m + 5 = m²(m + 1) + 5 (m + 1) = (m² + 5)(m + 1).

m² + 5 > 0 для будь–яких значень m.

m + 1 ≥ 0, якщо m ≥ –1. Отже, m³ + m² + 5m + 5 ≥ 0, якщо m ≥ –1, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

pp+7 – p+1p+8 = pp+8- (p+7)(p+14)p+7(p+8) = p2+ 8p- p2- p-7p-7p+7(p+8) = -7p+7(p+8).

Якщо р — додатне число, то р + 7 > 0, р + 8 > 0.

Отже – 7p+7(p+8) < 0 і справджується нерівність pp+7 < p+1p+8, що й треба було довести.