Відповіді до завдань § 1 - § 7: 1.21

1.21. Доведіть, що:

1) Спростимо вираз в лівій частині нерівності:

х³ – Зх² + х – 3 = х²(х – 3) + (x –3) = (x – 3)(x² + 1).

х² + 1 > 0 для будь–яких значення х.

х – 3 ≥ 0, якщо x ≥ 3. Отже, x³ – Зх² + х – 3 ≥ 0, якщо х ≥ 3, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

3a+3 – 1a+1 = 3a+1- 1(a+3)a+3(a+1) = 3a+3-a-3a+3(a+1) = 2aa+3(a+1).

Якщо а – додатне число, то 2a > 0, (a + 3) > 0, (a + 1) > 0.

Отже, 2aa+3(a+1) > 0 і справджується нерівність 3a+3 > 1a+1, що й треба було довести.