Вправи: 28.24

28.24 Побудуйте трикутник ABC за даним кутом C, відношенням

сторін AC : CB = 3 : 2 та медіаною CM.

Нехай задано медіану CM і кут C трикутника ABC.1) Побудуємо деякий трикутник, подібний до шуканого. Для цього побудуємо довільний трикутник A1B1C, у якого ∠C — заданий і A1C : CB1 = 3 : 2.2) Побудуємо медіану цього трикутника CM1.

3) Відкладемо на прямій CM₁ відрізок CM.

4) Через точку M проведемо пряму, паралельну A₁B₁ вона перетинає сторони кута C у точках A і В.

∆ABC ~ ∆A₁B₁C (за двома кутами). Тому A₁C : CB₁ = AC : CB, тобто

AC : CB= 3 : 2.

∆А1СМ ~ ∆АСМ (за двома кутами). ТомуСМ1СМ = А1М1АМ.∆В1СМ ~ ∆ВСМ (за двома кутами). ТомуСМ1СМ = В1М1ВМ.Отже, що А1М1АМ = В1М1ВМ; А1М1В1М1 = АМВМ.Оскільки А1М1 : В1М1 (за побудовою), то АМВМ = 1, тобто АМ = ВМ.

Отже, СМ – медіана ∆АВС, і ∆АВС задовольняє умову.