Вправи: 455-456

455. Чому дорівнює відношення висот 2 дідухів (мал. 8.8)?

h1h2 = 100 см60 см = 53 = 5 : 3.

456. Які відрізки називають пропорційними відрізкам а, b і с?

Відрізки, пропорційні відрізкам а, b і с – це відрізки відповідні відрізки, розташовані на іншій стороні кута.

Стор.74

Задачі за готовими малюнками

1. ∠AOB = 130°. ∠ACB – ?

a) ACB = 130°, ∠ACB = 12(360° – АCВ) = 12 (360° – 130°) = 12 • 230° =

= 115°.

Відповідь: 115°.

AB = CD. Довести: BK = KC.

б) Оскільки AB = CD, ∠ABD = ∠ACD = 12AD, ∠CAB = ∠BDC = 12BC,

то ∆ABK = ∆DCK (за стороною і двома прилеглими кутами). Із рівності трикутників випливає, що BK = CK.

2. AM : MC = 4 : 3, ∠ABC = 70°. ∠A, ∠C

а) АMС = 2∠ABC = 2 • 70° = 140°, AM = 140°+44+3 = 80°, MC = 140° •34+3 = 60°.

∠ABM = 12AM = 12 • 80° = 40°, ∠A = ∠ABM = 40°,

∠MBC = 12MC = 12 • 60° = 30°, ∠C = ∠MBC = 30°.

Відповідь: 40° і 30°.

∠B = 50°. AM, MC

б) ∠A = 90° – ∠B = 90° – 50° = 40°, CM = 2∠A = 2 • 40° = 80°.

AM = 180° – CM = 180° – 80° = 100°.

Відповідь: 100° і 80°.

3. ABCD — прямокутник. ∠2 − ∠1= 30°, CD = 5. R – ?

а) Оскільки ∠2 – ∠1 = 30°, ∠1 + ∠2 = 90°, то ∠2 = 90°+30°2 = 60°, ∠1 = 90°-30°2 = 30°. Із прямокутного трикутника ACD маємо AC = 2 • CD = 2 • 5 = 10.

R = 12AС = 12 • 10 = 5.

Відповідь: 5.

ABCD — трапеція. CD = 7, ∠D = 60°. R – ?

б) ∠CAD = 90° – ∠D = 90° – 60° = 30°.

Із прямокутного трикутника ACD маємо AD = 2 • CD = 2 • 7 = 14.

R = 12AD = 12 • 14 = 7.

Відповідь: 7.

4. ABCD — трапеція. MN = 9, ∠D = 30°. AB, CD – ?

а) Оскільки MN = 9, то BC + AD = 18, тоді AB + CD = 18,

AB = 12CD, тобто CD = 2АВ, тоді АВ = 18 •11+2 = 6, CD = 18 •21+2 = 12.

Відповідь: 6 і 12.

ABCD — ромб. ∠ABC : ∠BCD = 1 : 5, r = 3. AB – ?

б) ∠ABC = 180° •11+5 = 30°, ∠BCD = 180° •51+5 = 150°.

AH = 2OК = 2 • 3 = 6. Із трикутника ABH маємо AB = 2АН = 2 • 6 = 12.

Відповідь: 12.

Стор.75

Самостійна робота

Варіант 1

1. Два послідовні кути вписаного чотирикутни 70° і 80°. Знайди два інші його кути.

ABCD — трапеція,

∠A = 70°, ∠D = 80°, тоді

∠B = 180° – ∠A = 180° – 70° = 110°,

∠C = 180° – ∠D = 180° – 80° = 100°.

Відповідь: 100° і 110°.

2. Точки P і K ділять коло на дві частини, пропорційні числам 2 і 7.

Знай діть міри вписаних кутів, які спираються на хорду PK.

PNK : PMK = 2 : 7, тоді PNK = 360° •22+7 = 80°,

PMK = 360° •72+7 = 280°.

∠PMK = 12PNK = 12 • 80° = 40°,

∠PNK = 12РMK = 12 • 280° = 140°.

Відповідь: 40° і 140°.

Варіант 2

2. Точки E і F ділять коло на дві частини, одна з яких дорівнює третині другої. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду EF.

ENF = 13EMF, тоді ENF = 360°•11+3 = 90°,

EMF = 360°•31+3 = 270°.

∠EMF = 12ENF = 12 • 90° = 45°, ∠ENF = 12EMF = 12 • 270° = 135°.

Відповідь: 45° і 135°.

Варіант З

2. Точки A і B ділять коло на дві частини, одна з яких у 5 разів більша за другу. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду AB.

AMB = 5ANВ, тоді ANB = 360°•11+5 = 60°, AMB = 360°•51+5 = 300°.

∠AMB = 12ANB = 12 • 60° = 30°, ∠ANB = 12AMB = 12 • 300° = 150°.

Відповідь: 30° і 150°.

Варіант 4

2. Точки M і N ділять коло на дві частини, одна з яких на 80° більша

за другу. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду MN.

MAN – MBN = 80°, тоді MBN = 360°-80°2 = 140°,

MAN = 360°+80°2 = 220° = 12 • 140° = 70°

∠MAN = 12MBN = 12 • 140° = 70°, ∠MBN = 12MAN = 12 • 220° = 110°.

Відповідь: 70° і 110°.

Стор.76

Тестові завдання

Номеризавдань	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Правильнівідповіді	Б	А	Г	А	А	В	В	В	В	Б

Стор.77

Типові задачі для тематичного контролю

1. Середня лінія рівнобедреного трикутника дорівнює 7 см, а одна з його сторін 10 см. Знайди периметр трикутника.

І випадок.

MN — середня лінія, MN = 7 см, AC = 10 см, тоді

AB = BC = 2MN = 2 • 7 = 14 (см).

Р∆_АВС = 14 + 14 + 10 = 38 (см).

II випадок.

MN — середня лінія, MN = 7 см, AC = 2 • MN = 2 • 7 = 14 см, тоді AB = BC = 10 (см).

Р∆_АВС = 10 + 10 + 14 = 34 (см).

Відповідь: 34 см або 38 см.

2. ∆ABC вписаний у коло з центром O. Знайди ∠AOC, якщо ∠A = 40°, а ∠B удвічі більший.

∠A = 40°, ∠B = 2∠A = 2 • 40° = 80°.

AС = 2∠B = 2 • 80° = 160°, ∠AOC = AС = 160°.

Відповідь: 160°.

5. Діагональ трапеції ділить середню лінію завдовжки 15 см на два відрізки, один із яких на 8 см менший за другий. Знайдіть основи трапеції.

MN — середня лінія трапеції ABCD, MN = 15 см, MK – KN = 8 см.

МK = 15+82 = 232 = 11,5 (см).

KN = 15-82 = 72 = 3,5 (см).

AD = 2МК = 2 • 11,5 = 23 (см), BC = 2KN = 2 • 3,5 = 7 (см).

Відповідь: 23 см і 7 см.

7. Периметр трикутника, утворений середніми лініями ∆ABC, дорівнює 15 см. Знайди сторони ∆ABC, якщо одна з них на 2 см менша від другої й удвічі менша за третю.

Якщо P∆_KLM = 15 см, то P∆_ABC = 30 см.

Нехай АВ = х см, тоді AC = (x + 2) см, BC = 2х см, тоді х + х + 2 + 2x = 30, 4x = 28, x = 7. Тоді AB = 7 см, AC = 9 см, BC = 14 см.

Відповідь: 7 см, 9 см, 14 см.

8. Знайди периметр рівнобічної трапеції, основи якої пропорційні числам 2 і 5, тупий кут дорівнює 120°, а бічні сторони — 6 см.

ABCD — рівнобічна трапеція, BC : AD = 2 : 5, ∠B = ∠C = 120°, AB = CD = 6 см.

Проведемо BK ⊥ AD, ∠ABK = 2ABC – 90° = 120° – 90° = 30°.

Із прямокутного трикутника ABK маємо

AK = 12 AB = 12 • 6 см = 3 см.

Нехай BC = 2х см, тоді AD = 5х см, AK = AD- BC2 = 5x-2x2 = 1,5х (см).

Отже, 1,5x = З, тоді х = 2. Тоді BC = 2 • 2 = 4 (см), AD = 5 • 2 = 10 (см).

P_ABCD = 2AB + BC + AD = 2 • 6 + 4 + 10 = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

9. Кути трапеції пропорційні числам 1 і 2, а діагональ є бісектрисою гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо радіус описаного кола дорівнює 8 см.

Оскільки в рівнобічну трапецію з основами 2 см і 6 см можна вписати коло, то подвоєна бічна сторона дорівнює 2 см + 6 см = 8 см, а бічна сторона трапеції дорівнює 8 см : 2 = 4 см. Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, тоді AK = MD = AD- BC2 = 6-22 = 2 см. Із трикутника ABK маємо ∠ABK = 30°, ∠BAK = 60°, оскільки AB = 2AK. Спочатку будуємо прямокутний трикутник ABK, в якому AK = 2 см, AB = 4 см. Далі продовжуємо промінь AK і на ньому від точки K відкладаємо відрізок KD, KD = 4 см. Точка C — точка перетину кола з центром в точці В і радіусом 2 см та кола радіуса 4 см і з центром в точці D. ABCD — шукана трапеція.