Вправи
Вправи: 310
Готова відповідь до завдання 310 з ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз.
Геометрія, 8 клас · Вправи
Текстова відповідь
310. Доведи, що бісектриси кутів A і B трапеції ABCD (AD ∥ BC) перетинаються під прямим кутом і точка їх перетину лежить на середній лінії трапеції (мал.5.20).
BC ∥ AD; MN — середня лінія трапеції; MO = ON; ∠BAO = ∠OAD;
∠ABO = ∠CBO.
Потрібно довести, що a) ∠BOC = 90°; б) O ∈ MN.
Спочатку доведемо твердження а). Скористаємось тим фактом, що для будь–якої трапеції ∠A + ∠B = 180°. Далі, за умовою ∠BAO = 12∠A, ∠ABO = 12B. Тоді сума ∠BAO + ∠ABO = 12(∠A + ∠B) = 90°. Залишилося з ∆АВО знайти міру ∠AOВ: ∠AOB = 180° – ∠BAO – ∠ABO = 180° – 90° = 90°. Отже, дійсно діагоналі BD і AC перетинаються під прямим кутом.
Настала черга довести, до O ∈ MN. Дійсно, за умовою MN — середня лінія трапеції, тому AM = MB і AO = ОС, тобто M ∈ MN і O ∈ MN.