Вправи: 236

236. S, Р, F, R — середини сторін чотирикутника ABCD. За якої умови чотирикутник SPFR є квадратом?

Легко довести, що в будь–якому опуклому чотирикутнику ABCD, чотирикутник, вершинами якого є середини сторін чотирикутника ABCD, — паралелограм. Дійсно, за умовою AS = SB, BP = PC, CF = FD i AR = RD. Тому SP і RF — середні лінії ∆ABC і ∆ADC відповідно, тобто SP ∥ AC, SP = 12АС і RF ∥ AC, RF = 12АС. Звідси отримуємо: KP ∥ HT і KP ∥ HT. Що означає: чотирикутник SPRF — паралелограм.

ABCD — паралелограм. При цьому ∆SBP = ∆RDF і ∆PCF = ∆SАR.

SPFR — квадрат — це ромб, всі кути якого прямі або прямокутник, всі сторони якого рівні. Для цього достатньо, щоб виконувались умови: a) ∆SBP і ∆PCF — рівнобедрені; б) ∆SBP = ∆РСF.