Вправи: 235

235. K, P, T, H — середини сторін чотирикутника ABCD. За якої умови чотирикутник KPTH є: а) ромбом; б) прямокутником.

Легко довести, що в будь–якому опуклому чотирикутнику ABCD, чотирикутник, вершинами якого є середини сторін чотирикутника ABCD, — паралелограм. Дійсно, за умовою AK = KB, BP = PC, CT = TD i AH = HD. Тому KP і HT — середні лінії ∆ABC і ∆ADC відповідно, тобто KP ∥ AC, KP = 12АС і HT ∥ AC, HT = 12АС. Звідси отримуємо: KP ∥ HT і KP ∥ HT. Що означає: чотирикутник KPHT — паралелограм.

ABCD — паралелограм. При цьому ∆KBP = ∆HDT і ∆PCT = ∆КАН. Переходимо до відповідей на запитання задачі:

1) чотирикутник KPTD — ромб — це паралелограм, якщо всі його сторони рівні. Для цього достатньо, щоб ∆KBP = ∆РСТ; 2) KPTH — прямокутник — це паралелограм, всі кути якого прямі. Для цього достатньо, щоб ∆KBP був рівнобедреним. Дійсно, якщо ∆KBP — рівнобедрений, то BL ⊥ BP, але BL ∥ PT, тобто BP ⊥ PT і ∠P = 90°.