Вправи: 1353

1353. Доведи, що дві рівнобічні трапеції рівні, якщо чотири сторони

однієї з них дорівнюють відповідним сторонам другої.

Дано: ABCD i A₁B₁C₁D₁ –

рівнобічні трапеції;

АВ = А₁В₁; CD = C₁D₁;

BC = B₁C₁; AD = A₁D₁.

Довести: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

Доведення

Проведемо висоти ВН, СК, В₁Н₁, С₁К₁.

AH = (AD – BC) : 2; A₁H₁ = (A₁D₁ – B₁C₁) : 2 ⇒ AH = A₁H₁.

B ∆ABH i ∆A₁B₁H₁:

1) AB = A₁B₁ – за умовою;

2) АН = А₁Н₁ – за доведеним.

Отже, ∆АВН = ∆А₁В₁Н₁ за гіпотенузою та катетом.

Тоді ∠А = ∠А₁ як відповідні кути рівних трикутників.

∠D = ∠A = ∠A₁ = ∠D₁.

∠B = ∠C = 180° – ∠A = 180° – ∠A₁ = ∠B₁ = ∠C₁.

Трапеції ABCD i A₁B₁C₁D₁ мають відповідно рівні сторони та кути.

Отже, ABCD = A₁B₁C₁D₁.