Вправи: 1348

1348. На сторонах ВС і СD паралелограма АВСD зовні нього побудовано рівносторонні трикутники ВСК і СDР. Доведи, що АК = АР = КР.

Дано: ABCD – паралелограм;

∆ВСК і ∆CDP – рівносторонні.

Довести: АК = АР = КР.

Доведення

Нехай B = D = α.

B ∆ABK i ∆ADP:

1) ∠ABK = ∠ADP = α + 60°.

2) AB = PD – за умовою;

3) BK = AD – за умовою.

Отже, ∆ABK = ∆ADP за двома сторонами і кутом між ними.

Тоді АК = АР як відповідні сторони рівних кутів.

B ∆КСР i ∆AВК:

1) ∠КСР = ∠AВК = 60° + β;

2) СР = АВ – за умовою

3) КС = ВК – за умовою.

Отже, ∆КСР = ∆AВК за двома сторонами і кутом між ними.

Тоді КР = АК як відповідні сторони рівних кутів.

Тому АК = АР = КР.