Вправи: 1340

1340. Доведи, що висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

Дано: ∆АВС; АА₁, ВВ₁, СС₁ – висоти.

Довести: висоти перетинаються в одній точці.

Розв’язання

Нехай АА₁ Х ВВ₁ = Н.

Доведемо, що СС₁ пройде через що точку Н.

Проведемо PQ ∥ BC, QR ∥ AC, PR ∥ AB

Чотирикутниу ABCP: AP ∥ BC, PC ∥ AB, тоді АВСР – паралелограм;

AP = BC.

Чотирикутник AQBC – паралелограм; QB ∥ AC, QA ∥ BC, тоді AQBC – паралелограм; AQ = BC.

Отже, AP = AQ; A – середина PQ.

Аналогічно доводиться, що В – середина QR, C – середина PR.

AA₁ ⊥ BC, тоді AA₁ ⊥ PQ.

Отже, АА₁ – серединний перпендикуляр до PQ.

Аналогічно доводиться, що ВВ₁ – серединний перпендикуляр до QR;

CC₁ – серединний перпендикуляр до PR.

Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці.

Отже, висоти АА₁, ВВ₁, СС₁ перетинаються в одній точці.