Вправи: 1219

1219. Доведи, що сума відстаней від точки, яка лежить всередині рівностороннього трикутника, до його сторін не залежить від положення цієї точки.

∆ABC — рівносторонній трикутник.

M — точка всередині ∆ABC.

MK ⊥ AB; MN ⊥ BC; MZ ⊥ AC. Де б ми не взяли т. M з’єднавши А, В, C з т. М, маємо: S_∆ABM + S_∆BMC + S_∆AMC = S_∆ABC.

Нехай a — сторона трикутника, тоді S_∆ABM = 12a • MK;

S_∆BMC = 12a • MN; S_∆AMC = 12a • MZ;

S_∆ABC = a234, тоді 12а • МК + 12а • MN + 12а • MZ = a234.

MK + MN + MZ = a32, тобто сума відстаней від т. M до сторін трикутника незмінна і дорівнює a32, де a — сторона ∆ABC.